Question

Se dispara una flecha , formando un ángulo de 60° con respecto a la horizontal y una velocidad de 32 m/s A qué distancia del lanzamiento la flecha hace contacto con el suelo ?​​

Answer 1

El alcance horizontal de la flecha es de 90.5 metros, siendo esta magnitud la distancia que recorre desde el lanzamiento hasta su contacto con el suelo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8\ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (32 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1024\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1024\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 512\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 512\ \ . \ \sqrt{3} }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{512\ \sqrt{3} }{9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{886.81001347}{9.8} \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =90.490817\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =90.50 \ metros }}$

El alcance horizontal de la flecha es de 90.5 metros, siendo esta magnitud la distancia que recorre desde el lanzamiento hasta su contacto con el suelo

Aunque el enunciado no lo pida:

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (32 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{64\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 32\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 32\sqrt{3} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{55.425625842 }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =5.6556761 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =5.655 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la flecha es de 5.655 segundos

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(32 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1024\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1024\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1024\ \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{3072}{4} }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{768 }{19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =39.18367 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 39.18\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la flecha es de 39.18 metros

Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento