Question

Se dispara una flecha con una velocidad de 59 m/s y un ángulo de 38° con la
horizontal Determine: a) la altura máxima alcanzada, b) el tiempo que está en
el aire, c) el alcance horizontal.​

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza la flecha es de 67.32 metros

b) La flecha permanece en el aire 7.41 segundos

c) El alcance máximo de la flecha es de 344.65 metros recorriendo esa distancia horizontalmente

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Hallamos la altura máxima que alcanza la flecha

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(59 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (38^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3481\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.6156614753256)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3481 \ . \ 0.3790390522001 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1319.4349407087 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 67.318109\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 67.32 \ metros }}$

La altura máxima que alcanza la flecha es de 67.32 metros

b) Determinamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la flecha

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (59 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (38^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{118\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.6156614753256 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{118\ \ . \ 0.6156614753256 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{72.648054088427 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =7.4130\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =7.41 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de o de permanencia en el aire de la flecha es de 7.41 segundos

c) Calculamos el alcance máximo o alcance horizontal

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 59 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 38^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 3481 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (76^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 3481 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.97029572262759 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 3481 \ . \ 0.9702957262759 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{3377.5994231667 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =344.653002\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 344.65 \ metros }}$

El alcance máximo de la flecha es de 344.65 metros recorriendo esa distancia horizontalmente

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento