Se dispara un proyectil hacia arriba a una velocidad inicial de 800 pie/seg . El número de pies s sobre el nivel del suelo después de t segundos está dado por s = −16t2 + 800t. i) ¿En cuánto tiempo alcanza el proyectil una altura de 3 200 pies? ii) ¿En cuánto tiempo regresa al suelo? iii)¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
Respuestas a la pregunta
El proyectil alcanza una altura de 3200 pies a los 4,38 segundos de haber partido.
Explicación paso a paso:
i) ¿En cuánto tiempo alcanza el proyectil una altura de 3 200 pies?
La ecuación dada en el problema nos permite calcular la altura para un tiempo cualquiera, pero también nos permite calcular el tiempo de vuelo dada una altura conocida.
Así que, vamos a sustituir 3200 en la ecuación y a factorizar para responder la pregunta:
3200 = -16t² + 800t ⇒ 16t² - 800t + 3200 = 0 ⇒
t² - 50t + 200 = 0 ⇒
El proyectil sube, alcanza su altura máxima y baja; por lo tanto hay dos instantes de tiempo en que está a 3200 pies del suelo.
Ya que deseamos conocer el tiempo de subida, se escoge el valor más pequeños; es decir, el proyectil alcanza una altura de 3200 pies a los 4,38 segundos de haber partido.
ii) ¿En cuánto tiempo regresa al suelo?
El proyectil está en el suelo antes de salir y cuando regresa de su vuelo. En ambas ocasiones su altura es cero pies. Vamos a sustituir ese valor en la ecuación dada y a factorizar para despejar el o los valores de tiempo para los cuales la altura es nula.
0 = -16t² + 800t ⇒ 16t² - 800t = 0 ⇒
16t(t - 50) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 50
El tiempo cero es antes de partir; por lo tanto, el proyectil regresa al suelo después de volar por 50 segundos.
iii) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
La altura máxima se obtiene dividiendo el cuadrado de la velocidad inicial entre 2 y entre la aceleración de gravedad:
Sabemos que parte con una velocidad de 800 pie/s y que la aceleración de gravedad es de 32,16 pie/s², entonces:
Altura máxima = (800 pie/s)²/(2*32,16 pie/s²) = 9950 pies
La altura máxima que alcanza el proyectil es de 9950 pies.