Question

Se dispara un proyectil con una rapidez de 100 m/s formando un ángulo de máximo alcance horizontal. Calcular:
a) Alcance máximo
b) Máxima altura
c) Tiempo que el proyectil permanece en el aire.​

Answer 1

a) El alcance máximo del proyectil es de 1000 metros

b) Siendo la altura máxima alcanzada por este de 250 metros

c) El tiempo de vuelo del proyectil de de 14.14 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

El alcance máximo horizontal se obtiene para un ángulo de lanzamiento de 45°

a) Alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2\ . \ 45 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (90 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 90 grados es de }\bold{ 1 }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000 \ . \ \ 1 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{10000 }{ 10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =1000 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 1000 metros

Obteniéndose con un ángulo de 45° el alcance máximo

b) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (45^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{2} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000 \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{20000}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 5000 }{20\ } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =250\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 250 metros

c) Tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (100\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (45^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{2} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 100\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 100\sqrt{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =10\sqrt{2} \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =14.14 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 14.14 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola