Question

Se desea sujetar un poste de 15
metros de altura con un cable que va de
La parte superior del mismo hasta el suelo,
formando un ángulo de 30 . determinar la longitud del cable utilizado .
​

Answer 1

La longitud del cable utilizado es de 30 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable    

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas.

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados.

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Llamamos a esa proporción entre los lados con la letra "k", para indicar dicha proporcionalidad entre sus lados. Que como se mencionó es una constante.

Luego hallado el valor de "k" nos permitirá determinar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del poste, el lado AC que representa el plano horizontal y el lado AB que representa la longitud del cable con el cual se sujeta el poste desde su parte superior hasta determinado punto en el suelo, donde forma con el suelo un ángulo de 30°. Siendo siendo esta dimensión la hipotenusa-

Por tratarse de un triángulo notable en donde el ángulo notable de 30° resulta ser el lado opuesto o cateto opuesto a dicho ángulo. Podemos afirmar que la hipotenusa medirá exactamente el doble .

Por tanto si el poste tiene 15 metros de altura la longitud del cable de sujeción -hipotenusa- será de 30 metros

Los cálculos nos darán la razón

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Altura del poste = 15 metros

• Ángulo de elevación = 30°

• Debemos determinar la longitud del cable utilizado

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Como conocemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del poste- y de un ángulo de elevación de 30° y se desea hallar la hipotenusa -que representa la longitud del cable empleado- relacionamos los datos con el seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed{\bold { sen(30^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } } }$

$\boxed{\bold { sen(30^o)= \frac{ altura\ poste }{ longitud \ cable} } }$

$\boxed{\bold { longitud \ cable= \frac{ altura\ poste }{ sen(30^o)} } }$

El valor exacto del seno de 30°

$\boxed{\bold { sen(30^o) = \frac{1}{2} }}$

$\boxed{\bold { longitud \ cable = \frac{ 15 \ metros }{ sen(30^o) } } }$

$\boxed{\bold { longitud \ cable= \frac{ 15 \ metros }{ \frac{1}{2} } } }$

$\boxed{\bold { longitud \ cable= 15 \ metros \ . \ \frac{2}{1} }}$

$\boxed{\bold { longitud \ cable= 15 \ metros \ . \ \ 2 }}$

$\large\boxed{\bold { longitud \ cable = 30 \ metros }}$

La longitud del cable utilizado es de 30 metros

Método 2

Resolución por triángulo notable

Determinando el valor de la constante de proporcionalidad k

La altura del poste es de 15 metros

Y resulta ser el cateto opuesto al ángulo de 30° por tanto mide 1 k

Planteamos

$\boxed{\bold {altura \ poste= 15 \ metros = 1k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 1k = 15 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 15 \ metros }{1} }}$

$\boxed{\bold { k = 15 }}$

El valor de la constante k es 15

La longitud del cable utilizado es la hipotenusa del triángulo rectángulo 30-60

Y al ser la hipotenusa siempre medirá 2k

Planteamos

$\boxed{\bold { longitud \ cable = 2 k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { longitud \ cable= 2 \ . \ 15 }}$

$\large\boxed{\bold { longitud \ cable =30 \ metros }}$

Donde se arriba al mismo resultado