Question

Se desea fabricar un contenedor en acero para gas y se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto como se muestra la figura. El volumen total es de 3 ≃ 1 000 . El costo por metro cuadrado de los extremos es una vez y media el costo por metro cuadrado del acero usado en la parte cilíndrica.

¿Cuáles deben ser las dimensiones del contenedor de costo mínimo? Aspectos a considerar
1. Asignar variables a las dimensiones del contenedor.
2. Esbozar un gráfico del contenedor con las variables consideradas. 3. Establecer las expresiones del caso: Área total, volumen y costo.
4. Definir la función a optimizar: Expresión algebraica con una variable y dominio.
5. Aplicar los criterios de la primera o segunda derivada para optimizar la función: Derivada, puntos críticos, intervalos de crecimiento, puntos máximos o mínimos.
6. Indicar las dimensiones que optimizan el caso (dos cifras significativas para cada dimensión).

Answer 1

Las dimensiones que optimizan el caso son

Radio 17 y la altura  34 unidades

Explicación:

El volumen total es de 31 000 .

El volumen de un cilindro viene dado por:

V= πR²*h

entonces:

31000 =  πR²*h

El costo por metro cuadrado de los extremos es una vez y media el costo por metro cuadrado del acero usado en la parte cilíndrica.

Área circulo

A= π*r²  

Área laretal

AL= (2πr)(h)

C lateral =  C circulo/2:

Si queremos minimizar el costo, entonces el área mas grande debe ser el área del circulo.

(πr²)/2= (2πr)(h)

r= h/2

h=2r

Entonces:

La función a optimizar es:

V= πR²*2r

V =6,2832r³

r =∛31000/6,2832

Las dimensiones que optimizan el caso son

r = 17

h= 32