Question

Se desea elevar un cuerpo de 2200 kg utilizando una elevadora hidráulica de plato grande circular de 105 cm de radio de plato circular pequeño de 5 cm calcular cuanta fuerza hay que hacer en el émbolo pequeño para elevar el cuerpo

Answer 1

La fuerza que se debe ejercer sobre el plato o émbolo pequeño para elevar el cuerpo es de 48.88 N

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$  

Donde consideramos que los platos o émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos o platos uno pequeño o el émbolo o plato menor de un lado y el émbolo o plato mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo o plato de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el plato de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación:

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Datos

$\bold{ m_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Masa sobre plato mayor}\ \ \ \bold{2200 \ kg}$

$\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio plato mayor}\ \ \ \bold{105 \ cm}$

$\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio plato menor}\ \ \ \bold{5 \ cm}$

Luego por enunciado sabemos que se desea elevar sobre el plato o émbolo grande o mayor un cuerpo cuya masa es de 2200 kilogramos

Siendo

$\bold{ m_{B } = 2200 \ kg }$

Hallamos la fuerza peso que se ejerce en el plato o émbolo mayor

Por la Segunda Ley de Newton

$\large\boxed{ \bold{ F= m \ . \ a }}$

Donde

$\bold{ m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}$

Siendo

$\bold{ m_B } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa sobre plato mayor}\ \ \ \bold{2200 \ kg}$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}\ \ \ \bold{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{F_{B} = 2200 \ kg \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{F_{B} = 21560 \ kg \ . \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\bold{1 \ N = 1 \ kg \ . \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 21560 \ N }}$

La fuerza ejercida en el plato mayor o grande es de 21560 N

Evaluamos las superficies de los platos o émbolos

Determinamos la superficie del plato mayor

Plato Mayor

El plato mayor tiene un radio de 105 centímetros

Hallamos la superficie o área del plato mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ (105 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ 11025 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = 11025 \pi \ cm ^2 }}$

La superficie o área del plato mayor es de 11025 π centímetros cuadrados

Hallamos la superficie del plato menor o pequeño

Plato Menor

El plato menor tiene un radio de 5 centímetros

Hallamos la superficie o área del plato menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ (5 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ 25 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = 25 \pi \ cm ^2 }}$

La superficie o área del plato menor es de 25 π centímetros cuadrados

Calculamos la fuerza que se debe ejercer en el plato o émbolo pequeño para elevar el cuerpo

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre plato menor}$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area plato menor}\ \ \ \bold{25 \ \pi \ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre plato mayor}\ \ \ \bold{21560 \ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area plato mayor}\ \ \ \bold{11025 \ \pi \ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ 25\ \pi \ cm ^{2} } = \frac{ 21560 \ N }{ 11025\ \pi \ cm ^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 21560 \ N \ . \ 25\ \pi \ cm ^{2} }{ 11025\ \pi \ cm ^{2}} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 21560 \ N \ . \ 25\not \pi \not cm ^{2} }{ 11025\not \pi \not cm ^{2}} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{21560 \ . \ 25 }{11025} \ N }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{539000 }{11025} \ N }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} =48.\overline{88} \ N }}$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} =48.88 \ N }}$

Luego la fuerza que se debe ejercer sobre el plato o émbolo pequeño para elevar el cuerpo es de 48.88 N