Question

Se desea elaborar dos tipos de joyas: de lujo y ocasionales. Una joya de lujo utiliza 5 gr de oro y 2 gr de plata, mientras que una joya ocasional utiliza 3 gr de oro y 5 gr de plata. Se tiene en almacén como máximo disponible 135 gr de oro y 160 gr de plata. Asimismo, para elaborar una joya de lujo demoran un día, el mismo tiempo que demoran para una joya ocasional.
Si desean sacar al mercado su producción al cabo de 35 días, y se sabe que la utilidad que deja una joya de lujo es de 150 dólares y el de una joya ocasional es de 120 dólares, se pide:
a) Modele la función objetivo y elabore paso a paso la gráfica de la región factible indicando cada uno de los vértices.
b) Desarrolle el proceso para obtener el valor máximo y mencione ¿Cuántas joyas de lujo y cuántas joyas ocasionales deberán elaborar para maximizar su utilidad? ¿Cuánto es la utilidad máxima?

Answer 1

Respuesta:

• X=lujo

• Y=ocaciones.

a) U(x,y)=150x+120y

B)   X=15  ,  Y=20

Umax= 150(15)+120(20)=4650

Explicación paso a paso:

Answer 2

Para maximizar la utilidad se deben elaborar 15 joyas de lujo y 20 joyas ocasionales, para obtener la utilidad máxima de 4650 dólares.  

Explicación paso a paso:

a) Modele la función objetivo y elabore paso a paso la gráfica de la región factible indicando cada uno de los vértices.

Planteamos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal

Llamaremos:

X  =  número de joyas de lujo a elaborar  

Y  =  número de joyas ocasionales a elaborar

Función objetivo:        Maximizar        Z  =  150X  +  120Y        (Utilidad)

Condiciones del problema:

(5)X  +  (3)Y  ≤  135           (g de oro disponibles)  

(2)X  +  (5)Y  ≤  160           (g de plata disponibles)  

X  +  Y  ≤  35            (días para sacar la producción)

Condiciones de no negatividad:

X  ≥  0  

Y  ≥  0

Se construye la gráfica anexa con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución y los puntos de intersección son los vértices del polígono o candidatos a máximo.

Los vértices se hallan resolviendo sistemas de ecuaciones lineales dos a dos de las fronteras.

b) Desarrolle el proceso para obtener el valor máximo y mencione ¿Cuántas joyas de lujo y cuántas joyas ocasionales deberán elaborar para maximizar su utilidad? ¿Cuánto es la utilidad máxima?

Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones:

$\begin {array} {c|c|c}\underline {(X, Y) & \underline{Evaluaci\acute{o}n} & \underline{Valor Z}}\\ (0, 32) & 150(0)+ 120(32) & 3840\\ (5, 30) &150(5)+120(30) & 4350\\ \bold{(15, 20)}&150(15)+120(20)&\bold{4650}\\ (27, 0)& 150(27)+120(0)&4050\\\end {array}$

Para maximizar la utilidad se deben elaborar 15 joyas de lujo y 20 joyas ocasionales, para obtener la utilidad máxima de 4650 dólares.

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