Question

Se desea determinar ala distancia de BC a través de la base de un volcán. Se miden las
distancias AB y AC y resultan ser de 120m y 180m respectivamente. El ángulo BAC mide
60°. Calcula la distancia aproximadamente a lo lardo del volcán?
AYUDAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA!!!!

Answer 1

El lado BC tiene una longitud de aproximadamente 158,75 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ .\ b\ .\ c \ . \cos (\alpha)}}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ .\ a\ .\ c \ . \cos (\beta)}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ .\ a\ .\ b \ . \cos (\gamma)}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Resolución del problema:

Nos piden determinar la distancia de BC a través de la base de un volcán, donde se han medido las distancias AB y BC que resultan ser de 120 metros y 180 metros respectivamente, y donde el ángulo BAC mide 60°

Esto se puede representar en un imaginario triángulo en donde

• El lado AC (lado a) representa a la distancia medida debajo del volcán que equivale a 120 metros, el lado CB (lado b) representa a la distancia medida bajo el volcán que equivale a 180 metros y el lado BC conforma la base inferior del volcán:  Sabiendo que él ángulo BAC tiene un valor de 60° (Observe el vértice A de este triángulo)

Nos piden hallar la distancia del lado BC (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold {BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2\ .\ AC\ .\ AB \ . \ cos (\gamma)}}$

ó

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2\ .\ a\ .\ b \ . \ cos (\gamma)}}$

Reemplazamos valores,

$\boxed {\bold {BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2\ .\ AC\ .\ AB \ . \ cos (\gamma)}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 180^{2} + 120^{2} - 2\ .\ 120\ .\ 180 \ . \ cos (60\°)}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 32400+ 14400 - 43200 \ . \ cos (60\°)}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 46800 - 43200 \ . \ 0,5}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 46800 - 21600}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 25200}}$

$\boxed {\bold {\sqrt{BC^{2} } = \sqrt{25200 } }}$

$\boxed {\bold {BC \approx 158,75 \ metros }}$

Answer 2

Respuesta: 158.7 m

Explicación paso a paso: