Se desea cubrir con una capa monoatómica de oro. La superficie de un anillo de oro y metal, el diámetro interno es de 1.6 cm, el diámetro externo es de 18 milímetros y tiene un ancho de 0.6 cm.
Pregunta:
¿Cuántos átomos de 1.46 ángstrom de radio serán necesarios para cubrir toda la superficie del anillo ?
Respuestas a la pregunta
Se requieren 10.833 x 10 ¹⁵ átomos para cubrir toda la superficie del anillo.
Datos:
Diámetro interno = 1.6 cm
Radio interno (R₂) = 0.8 cm
Diámetro externo = 18 mm = 1.8 cm
Radio externo (R₁) = 0.9 cm
ancho (a) = 0.6 cm
Radio átomo = 1.46 A = 1.46 x 10⁻⁸ cm
En las figuras A y B tenemos el anillo con las medidas que nos da el problema. Ahora, el anillo es un cilindro hueco, suponemos que cortamos el cilindro, nos quedará un rectángulo como el de la figura C. Encontraremos el área de cada una de sus caras para saber cuantos átomos se requieren para cubrir la superficie.
Para encontrar la medida de X, que es el perímetro del anillo exterior, multiplicamos π por el diámetro exterior del anillo.
x= 3.1416 * 1.8 cm
x = 5.65 cm
Y = 0.6 cm puesto que es lo alto del anillo
z = 0.2 cm puesto que es la diferencia de los diámetros externo e interno.
Ahora, vamos a calcular el número de átomos que hay en esas medidas, para lo cual calculamos el diámetro(d) del átomo y que es igual a dos veces el radio.
d átomo = 2 * 1.46 x 10⁻⁸ cm
d átomo = 2.92 x 10⁻⁸ cm
Vamos a dividir cada uno de los valores de x,y,z entre el diámetro calculado.
x = 5.65 / (2.92 x 10⁻⁸) = 1.93 x 10⁸ átomos
y = 0.6 / (2.92 x 10⁻⁸) = 2.05 x 10⁷ átomos
z = 0.2 / (2.92 x 10⁻⁸) = 6.84 x 10⁶ átomos
Ahora, podemos notar que el rectángulo está formado por 3 pares de caras iguales, calcularemos al número de átomos que caben en cada una, multiplicaremos por 2 (pues hay dos caras iguales) y sumaremos los respectivos resultados para encontrar el número total de átomos.
Cara 1 = 2 * x * y
Cara 1 = 2 * (1.93 x 10⁸) * (2.05 x 10⁷)
Cara 1 = 7.913 x 10¹⁵ átomos
Cara 2 = 2 * x * z
Cara 2 = 2 * (1.93 x 10⁸) * (6.84 x 10⁶)
Cara 2 = 2.64 x 10 ¹⁵ átomos
Cara 3 = 2 * y * z
Cara 3 = 2 * (2.05 x 10⁷) * (6.84 x 10⁶)
Cara 3 = 0.28 x 10 ¹⁵ átomos
Nº total de átomos = Cara 1 + cara 2 + cara 3
N° total de átomos = 7.913 x 10¹⁵ + 2.64 x 10 ¹⁵ + 0.28 x 10 ¹⁵
N° total de átomos = 10.833 x 10 ¹⁵ átomos
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Respuesta:
8.73x10^{15} átomos
Explicación:
El problema nos pide calcular con cuántos átomos se llena la superficie por lo que tenemos que calcular el ÁREA, no el volumen y dada la forma "esférica" de los átomos van a quedar espacios vacíos por lo que tenemos que acomodarlos como en una cuadrícula y contarlos.
Área Externa
Primero sacaremos cuanto mide la cara externa del anillo, si lo abrimos este queda como un rectángulo con base igual al perímetro del círculo externo y altura igual al ancho del anillo, el radio del circulo externo es de 9mm
B=2πr
B=56.54mm
A lo largo de la base vamos a poner una fila de átomos entonces dividimos lo que mide la base entre el diámetro de los átomos, nos da el radio, por lo que hay que multiplicarlo por 2 y lo pasamos a mm
d_{atomo}=2.92x10^{-7}mm
átomos en la base=56.54mm/2.92x10^{-7}mm
átomos=1.94x10^{8} átomos
Esa es la cantidad de átomos que hay acomodados en fila sobre la base ahora hay que saber cuantos hay en la altura del rectángulo y los multiplicamos. El ancho mide 6mm
átomos altura=6mm/2.92x10^{-7}mm
átomos=2.05x10^{7}
Multiplicamos para saber cuantos átomos entran en el área externa.
ae=(1.94x10^{8})(2.05x10^{7})
ae=3.98x10^{15}
Área interna
Ahora necesitamos saber cuántos átomos entran en el área interna, se hace el mismo procedimiento pero con el perímetro del círculo interno cuyo radio mide 8mm
B=50.26mm
átomos en la base=50.26mm/2.92x10^{-7}mm
átomos=1.72x10^{8} átomos
ai=(1.72x10^{8})(2.05x10^{7})
ai=3.54x10^{15} átomos
Costados
Ya tenemos la cantidad de átomos necesarios para cubrir ambas caras pero nos falta el ancho del anillo, si abrimos el anillo esta parte queda como un trapecio con base menor igual al perímetro del circulo más chico y base mayor igual al perímetro más grande. Lo podemos acomodar como un rectángulo cuya base es igual al perímetro del circulo mas chico y la altura como la diferencia de los dos radios o sea 1mm. y a esto sumarle la otro rectángulo con la base igual a la diferencia del radio mas grande al radio más chico y altura igual a 1mm
El área será igual a
Base=50.26mm
átomos base=1.72x10^{8} átomos
áltura=1mm
átomos altura=1mm/2.92x10^{-7}mm
átomos altura=3.42x10^{6}
átomos en el rectángulo=(1.72x10^{8}) (3.42x10^{6})
átomos=5.90x10^{14}
ahora el rectangulo pequeño que queda de la diferencia de radios que mediría. 3.141mm de base por 1mm de altura
base=3.14mm/2.92x10^{-7}mm
atomos = 1.08x10^{7} átomos
átomos área=(1.08x10^{7}) (3.42x10^{6})
átomos área=3.68x10^{13}
total costado=3.68x10^{13}+5.90x10^{14}
total atomos costado=6.26x10^{14}
como so dos lados iguales se multiplica por dos
Total atomos costado=1.22x10^{15}
ÁTOMOS TOTALES
Ahora sumamos todos los átomos de todas ls áreas y n os da la cantidad de átomos necesarios
At=1.22x10^{15}+3.54x10^{15}+3.98x10^{15}
At=8.73x10^{15}
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