Se desea construir una pista de atletismo con figura de rectángulo coronado por dos semicírculos, si la longitud de la pista es de lkm, determinar el área de la pista como función del radio de los semicírculos, sabiendo que el ancho de esta es de lOm.(ver figura)
Respuestas a la pregunta
El área de la pista, en función del radio del semicírculo interno, será igual al área total menos el área interna:
Área Pista = (500 - π*r)*(2r + 20) + π (r + 10)² - [(500 - π*r)*r + π r²]
Explicación:
Vamos a dividir la figura en dos semicírculos a cada lado y un rectángulo central.
Usaremos las siguientes fórmulas:
Área de un rectángulo = largo * ancho
Perímetro de un rectángulo = largo + largo + ancho + ancho
Área de un círculo = π (radio)²
Perímetro de un círculo = 2 π (radio)
Vamos a llamar:
R = radio del semicírculo exterior
r = radio del semicírculo interior
L = largo del rectángulo exterior
l = largo del rectángulo interior
A = ancho del rectángulo exterior
a = ancho del rectángulo interior
De aquí:
R = r + 10
L = l
a = 2r
A = a + 20 ⇒ A = 2r + 20
Los dos semicírculos componen un circulo completo; así que el área total es:
Área total = Área de un rectángulo + Área de un círculo = l*(a + 20) + π (r + 10)²
La cara interna de la pista mide 1 km, o sea, 1000 m, y viene dada por
2l + 2 π*r = 1000 ⇒ l = 500 - π*r
Entonces,
Área total = (500 - π*r)*(2r + 20) + π (r + 10)²
El área interna será:
Área interna = Área del rectángulo interno + Área del círculo interno ⇒
Área interna = l*a + π r² = (500 - π*r)*r + π r²
Finalmente, el área de la pista, en función del radio del semicírculo interno, será igual al área total menos el área interna:
Área Pista = (500 - π*r)*(2r + 20) + π (r + 10)² - [(500 - π*r)*r + π r²]