Question

se desea construir una lata cilindrica que tenga capacidad de 455 ml. ¿cuales serian las dimensiones aproximadas para que la cantidad de material requerida en su construcción sea minima​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

455ml = 455 cm³ = 455.000 mm³

superficie : S = 2*superf TAPA + superf LATERAL

S = 2*π*D²/4 + π*D*H

volumen : V = π*D²/4*H         H = 4V / (π*D²)  

reemplazando

S = 2*π*D²/4 + π*D*[ 4V / (π*D²) ] = π*D²/2 + 4*V / D  

2S = π*D² + 8*V / D      para evitar trabajar con la variable dividiendo multiplico ambos miembros por el diametro .

2SD = π*D³ + 8*V  

Nos interesa que la superficie de material sea minima  ,  por lo tanto y considerando a S como funcion de D derivamos la expresion .

Para cualquier combinacion de D y H el volumen V es cte ya que es dato .

2[ S´*D + S ] = π*3D²

DS´ = π*3D² / 2 - S = π*3D² / 2 - [ π*D²/2 + 4*V / D ]

dS/dD = S´ = 3πD/2 - π*D/2 - 4*V / D²  

Para que sea minima la funcion su derivada debe ser nula .

0 = 3πD/2 - π*D/2 - 4*V / D²

multiplico por D²

0 = 3πD³/2 - π*D³/2 - 4*V = 2 * π*D³/2 - 4*V = π*D³ - 4*V

π*D³ = 4V

D³ = 4V / π  = 4*455.000 /  π                 D = 83,363 mm          

H = 4V / (π*D²) = 4*455000 / ( π*83,363² )

H = 83,363 mm    

Es decir para obtener la minima superficie de material debe ser D = H .