Question

Se desea construir una lata cilíndrica de 2 litros de capacidad para envasar pozole de manera que se utilice la menor superficie posible de lámina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lata?

Seleccione una:

a.
r = 0.1682 m, h= 0.0365 m

b.
r = 0.682 m, h= 0.3651 m

c.
r = 0.456 m, h = 0.2365 m

d.
r = 0.0682 m, h= 0.1365 m

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Answer 1

Las dimensiones de la lata cilíndrica que hacen mínima el área de metal utilizada son d) r=0,0683m y h=0,1366m.

Obtención de una expresión para el área de la lata cilíndrica

El volumen de la lata cilíndrica es:

$V=\pi.r^2h$

Y su área es:

$A=2\pi.r^2+2\pi.rh$

De la primera expresión podemos despejar la altura y reemplazarla en la segunda:

$h=\frac{V}{\pi.r^2}\\\\A=2\pi.r^2+2\pi.r\frac{V}{\pi.r^2}\\\\A=2\pi.r^2+2\frac{V}{r}\\\\A=\frac{2\pi.r^3+2V}{r}$

Cálculo de las dimensiones que hacen mínima el área

Esta expresión hay que derivarla e igualar la derivada a cero para hallar dicho radio;

$\frac{dA}{dr}=\frac{6\pi.r^2.r-(2\pi.r^3+2V)}{r^2}=0\\\\6\pi.r^3-2\pi.r^3-2V=0\\\\4\pi.r^3-2V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}=\sqrt[3]{\frac{2.0,002m^3}{4\pi}}\\\\r=0,0683m$

Y la altura de la lata es:

$h=\frac{V}{\pi.r^2}=\frac{0,002m^3}{\pi.(0,0683m)^2}\\\\h=0,1366m$