Question

Se desea construir una cisterna subterránea para almacenar jugo de uvas de una forma muy especial. Un grupo de ingenieros que acepta el trabajo se da cuenta que las paredes de la cisterna están generadas por un sólido de revolución obtenido al girar un arco de f(x)=〖0.8x〗^3+1 alrededor de la recta vertical x=1. El arco de la función f está entre 0 y 1 ¿Cuál será el volumen de jugo de uvas que puede almacenar la cisterna?

Answer 1

El volumen de de jugo de uva que puede almacenar el cisterna es :

10.41 u³

Explicación paso a paso:

Datos;

• Arco : $f(x)=0.8x^{3}+1$
• Gira alrededor de x = 1
• El arco de la función f está entre 0 y 1

 

¿Cuál será el volumen de jugo de uvas que puede almacenar la cisterna?

Aplicar inversa a f(x);

f⁻¹ = y =  0.8x³ + 1

y - 1 = 0.8x³

x³ = 5/4(y-1)

x = ∛[5/4(y-1)]

Aplicar método de del disco;

$V=\int\limits^a_b {\pi r^{2} } \, dy$

Siendo;

• r = {1 -  ∛[5/4(y-1)]}
• a = 1
• b = 0

Sustituir;

$V=\pi \int\limits^1_0 {[1- \sqrt[3]{\frac{5}{4}(y-1)} ]^{2} } \, dy\\V=\pi \int\limits^1_0 {[1- 2\sqrt[3]{\frac{5}{4}(y-1)} +( \sqrt[3]{\frac{5}{4}(y-1)} )^{2} ]} \, dy$

$\pi \int\limits^1_0 {1} \, dy = \pi$

$-2\pi \int\limits^1_0 {\sqrt[3]{\frac{5}{4} (y-1)} } \, dy \\-2\pi \sqrt[3]{\frac{5}{4} } \int\limits^1_0 {\sqrt[3]{(y-1)} } \, dy\\Aplicar \ cambio \ de\ variable;\\\u=y-1\\y = u+1\\dy=du\\Susituir;\\-2\pi \sqrt[3]{\frac{5}{4} } \int\limits^1_0 {\sqrt[3]{u} } \, du = -2\pi \sqrt[3]{\frac{5}{4} } [\frac{3}{4}u^{\frac{4}{3}} ]^1_0 \\Devolver\ cambio;\\-2\pi \sqrt[3]{\frac{5}{4} } [\frac{3}{4}(y-1)^{\frac{4}{3}} ]^1_0 = 1.6158\pi$

$\pi (\sqrt[3]{\frac{5}{4} })^{2} \int\limits^1_0 {(\sqrt[3]{(y-1)})^{2} } \, dy \\=\pi (\sqrt[3]{\frac{5}{4} })^{2} \int\limits^1_0 {(y-1))^{\frac{2}{3} } } \, dy\\= \pi (\sqrt[3]{\frac{5}{4} })^{2}[\frac{3}{5}(y-1)^\frac{5}{3} ]^1_0\\=0.696\pi$

V = π +1.6185 π + 0.696 π

V = 10.412 u³

Answer 2

El volumen de jugo de uvas que puede almacenar la cisterna es de 10.405 u³

Conocemos que la cisterna está formada por dos cuerpos como te muestro en la figura:

1. El cilindro de radio 1 y altura 1 en el centro de la cisterna.
2. El cuerpo formado generado por el arco al girarlo alrededor de la línea x = 1

El volumen del cuerpo revolución podemos calcularlo usando:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}(k-x)[f(x)-g(x)]\,{\text{d}}x}$

Donde tenemos que:

• f(x) = 0.8x² + 1
• g(x) = 0
• k = 1

Se conoce que el valor de y varía desde 0 hasta 1, por lo tanto, los límites de x serán, despejando la variable "y" y evaluando:

$x = \left(\dfrac{5}{4}(y-1)\right )^{\frac{1}{3}}$

$a = \left(\dfrac{5}{4}(0-1)\right )^{\frac{1}{3}} = -\left(\dfrac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}$

$b = \left(\dfrac{5}{4}(1-1)\right )^{\frac{1}{3}} =0$

El volumen del sólido revolución formado al girar la curva f(x) = 0.8x³+1 será entonces:

$V = {\displaystyle\int _{-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}}^0 2\pi \left(1-x\right)\left(0.8x^3+1\right)dx\:}$

$V = 2\pi{\displaystyle\int _{-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}}^0 (-0.8x^4+0.8x^3-x+1)dx\:}$

$V = 2\pi{\displaystyle\left[-0.16x^5+0.2x^4-0.5x^2+x\right]^0_{(-\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}}$

$V = 2 \pi \left(0-\left(-0.16\left(-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^5+0.2\left(-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^4-0.5\left(-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(-\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)$

$V = 2\pi\cdot 1.15603$

$V = 7.26355\ u^3$

Finalmente el volumen de la cisterna completa será el volumen del cuerpo revolución más el volumen del cilindro de adentro (ver figura):

$V_c = V + \pi r^2h$

$V_c = 7.26355+ \pi (1)^2(1)$

$V_c= 7.26355+ \pi$

$\boxed{V_c = 10.405\ u^3}$

R/ El volumen de jugo de uvas que puede almacenar la cisterna es de 10.405 u³erna es de 10.405 u³