Question

Se desea construir una cisterna de base cuadrada para almacenar 15,000 metros cúbicos de agua. Si la tapa metálica cuesta lo doble que la base de concreto. Cuales deben de ser las dimensiones de la cisterna para que sea lo más económica posible.

Answer 1

La cisterna tiene que tener 21,5 metros de lado y 32,3 metros de altura para que su costo sea mínimo.

Explicación:

Si la cisterna tiene base cuadrada, el volumen de la misma es:

$V=L^2.h=15000m^3$

El área de la tapa es:

$A_t=L^2$

Y el área de la base de concreto (el fondo más las paredes) es:

$A_b=L^2+4L.h$

Con lo cual, el costo total de la cisterna (donde el área de la tapa se cuenta como el doble del área del resto por costar el doble) es;

$C=2L^2+L^2+4Lh=3L^2+4Lh$

Introduciendo la ecuación del volumen queda:

$h=\frac{V}{L^2}\\\\C=3L^2+\frac{V}{L^2}.4L=3L^2+\frac{4V}{L}\\\\C=\frac{3L^3+4V}{L}$

Para minimizar el costo derivamos la función e igualamos la derivada a 0;

$C'=\frac{9L^2.L-(3L^3+4V)}{L^2}=\frac{9L^3-(3L^3+4V)}{L^2}\\\\6L^3-4V=0\\\\L=\sqrt[3]{\frac{4V}{6}}=\sqrt[3]{\frac{4.15000m^3}{6}}=21,5m$

Y la altura de la cisterna es:

$h=\frac{V}{L^2}=\frac{15000m^3}{(21,5m)^2}=32,3m$