Question

se desea construir una caja de metal sin tapa de una lamina que vale a soles por cada cm2 de superficie.La caja debe contener 500cm3 de volumen.¿Cuales son las dimensiones de la caja mas económica si la base debe ser cuadrada?

Answer 1

Supongamos que las dimensiones de la caja sean: x=y,z, entonces el área de la caja sin tapa es

$A(x,z)=x^2+2(xz+x^2)=3x^2+2xz$ ......................(1)

El volumen de la caja es

$V(x,z)=x^2z = 500$

despejemos z

$z=\frac{500}{x^2}$ ............................................(2)

reemplacemos (2) en (1)

$A(x)=3x^2+\frac{1000}{x}$

Para que nos cueste menos, el área debe ser la mas chica posible, veamos si A(x) posee un mínimo

Criterio de las derivadas

1) Primera derivada
$\frac{d A}{dx}=6x-\frac{1000}{x^2}$

1.1) punto critico
$6x-\frac{1000}{x^2}=0$

$6x^3=1000$

$x=\frac{10}{\sqrt[3]6}$

2) segunda derivada

$\frac{d^2 A}{dx^2}=6+\frac{2000}{x^3}$

evaluamos el punto crítico en esta expresión

$\left. \frac{d^2 A}{dx^2}\right |_{x=\frac{10}{\sqrt[3]{6}}}=6+\frac{2000}{\frac{1000}{6}}=18\ \textgreater \ 0$

entonces

$x=\frac{10}{\sqrt[3]6}$

es un mínimo
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Las dimensiones de la caja son

           $x=\frac{10}{\sqrt[3]6} \mbox{ \& } z=5\sqrt[3]{36}$