Question

Se desea construir un silo cónico de 12 m3 y el costo por cada metro cuadrado del área exterior es de $ 8,200.00. a) Determina el radio de la base y la altura para que el costo de la construcción sea mínimo. b) El costo de fabricación del silo

Answer 1

Para que el costo de fabricación sea mínimo, el silo tiene que tener 1,07 metros de radio por 10,1 de altura, y ese costo mínimo es de $307386.

Explicación paso a paso:

Si asumimos que el silo cónico tendrá la base y el área lateral, su área exterior es:

$A=\pi(r.l+r^2)$

Donde r es el radio de la base y l es la longitud de la generatriz. Entonces:

a) Tenemos que minimizar el área exterior del cono, sabemos que el volumen es de 12 metros cuadrados, por lo que queda:

$V=\frac{\pi.r^2.h}{3}$

Podemos poner la altura h en función de la generatriz y el radio de la base:

$V=\frac{\pi.r^2(l^2-r^2)}{3}$

Con esto podemos despejar la longitud de la generatriz:

$l^2-r^2=\frac{3V}{\pi.r^2}\\\\l=\sqrt{\frac{3V}{\pi.r^2}+r^2}=\frac{\sqrt{3V+\pi.r^4}}{\sqrt{\pi}.r}$

Y el área exterior queda:

$A=\pi(\frac{\sqrt{3V+\pi.r^4}}{\sqrt{\pi}.r}.r+r^2)=\pi(\frac{\sqrt{3V+\pi.r^4}}{\sqrt{\pi}}+r^2)$

Tenemos que minimizar esta área derivando e igualando a cero:

$A'=\pi(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\pi.4r^3}{2\sqrt{3V+\pi.r^4}}+2r)=0\\\\\sqrt{\pi}}\frac{\pi.4r^3}{2\sqrt{3V+\pi.r^4}}+2r=0\\\\\sqrt{\pi}}\frac{\pi.4r^2}{2\sqrt{3V+\pi.r^4}}+2=0\\\\\sqrt{\pi}}\pi.4r^2=-4\sqrt{3V+\pi.r^4}$

Elevando al cuadrado en ambos miembros queda:

$\pi^3.16r^4=16(3V+\pi.r^4)\\\\\pi^3.16r^4=48V+16\pi.r^4\\\\\pi^3.16r^4-16\pi.r^4=48V\\\\r=\sqrt[4]{\frac{48V}{\pi^3.16-16\pi}}=\sqrt[4]{\frac{48.12m^3}{\pi^3.16-16\pi}}\\\\r=1,07m$

Y la altura del silo es:

$V=\frac{\pi.r^2h}{3}\\\\h=\frac{3V}{\pi.r^2}=\frac{3.12m^3}{\pi.(1,07m)^2}\\\\h=10,1m$

b) El costo de fabricación del silo es:

$C=8200.A=8200.\pi(r.l+r^2)=8200.\pi(1,07m.10,1m+(1,07m)^2)\\\\C=307386$