Question

Se desea construir un depósito con forma de prisma rectangular de base cuadrada y con una capacidad de 360 m3. Los costes por m2 son los siguientes: 40 € para el fondo, 30 € para las paredes laterales y 60 € para el techo del depósito. Calcula las dimensiones del depósito para que su coste sea el menor posible.

Answer 1

Las dimensiones del depósito para que su coste sea el menor posible es:

largo y ancho = 6 metros

alto = 10 metros

Explicación paso a paso:

Datos;

un depósito, con forma de prisma rectangular de base cuadrada

capacidad de 360 m³

costes por m²:

40 €  el fondo

30 €  las paredes laterales

60 €  techo del depósito

Al tener la base cuadrada eso quiere decir que todos los lados de la base son iguales;

El volumen de un prisma es;

V = largo × ancho × alto

siendo;

largo = ancho

entonces;

V = x · x · y

V = x² · y

(1) 360 =  x² · y

Coste;

Coste = 40 x² + 30(4)xy + 60 x²

Coste = 40 x² + 120 xy + 60 x²

(2) Coste = 100 x² + 120 xy

Despejas y de 1;

y = 360/x²

Sustituir en 2;

Coste = 100 x² + 120 x(360/x²)

Coste = 100 x² + 43200/x

Aplicar derivada;

Coste' = d/dx(100x² + 43200/x)

Coste' = 200x - 43200/x²

Igualar a cero;

200 x = 43200/x²

x²(200 x) = 43200

200 x³ = 43200

x³ = 43200/200

Aplicar raíz cubica;

x = 43200/200

x = ∛216

x = 6 m

Sustituir es y;

y = 360/(6)²

y = 10 m