Se deben instalar varios anillos de cemento como base de una torre de televisión. La instalación del primer anillo cuesta USD 437, del segundo por ser de menor tamaño USD 414; del tercero USD 391 y así sucesivamente según una progresión aritmética. Si al pagar por cada uno de los anillos, el valor total de la factura fue de USD 4 370, determine el número de anillos de cemento que contiene la torre.
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⭐SOLUCIÓN: Un total de 19 anillos
Este problema es de progresiones aritméticas, en el cual cada uno de los términos (en este caso precio del anillo) va disminuyendo a una razón o diferencia constante. Observa que:
a₁: 437
a₂: 414
a₃: 391
La diferencia es igual a:
a₂ = a₁ + d
d = a₂ - a₁
d = (414 - 437) = -23
Quiere decir que el precio disminuye a razón de 23$
Ya sabiendo el precio total de la factura, aplicaremos la fórmula de suma en una progresión:
![Sn= \frac{2 a_{1}+(n-1)*d }{2}*n Sn= \frac{2 a_{1}+(n-1)*d }{2}*n](https://tex.z-dn.net/?f=Sn%3D+%5Cfrac%7B2+a_%7B1%7D%2B%28n-1%29%2Ad+%7D%7B2%7D%2An+)
Donde "n", es el término enésimo de la progresión, es decir, el valor que estamos buscando.
![4370= \frac{2*437+(n-1)*-23 }{2}*n 4370= \frac{2*437+(n-1)*-23 }{2}*n](https://tex.z-dn.net/?f=4370%3D+%5Cfrac%7B2%2A437%2B%28n-1%29%2A-23+%7D%7B2%7D%2An)
![4370= \frac{874+(n-1)*-23 }{2}*n 4370= \frac{874+(n-1)*-23 }{2}*n](https://tex.z-dn.net/?f=4370%3D+%5Cfrac%7B874%2B%28n-1%29%2A-23+%7D%7B2%7D%2An)
![4370= \frac{874-23n+23 }{2}*n 4370= \frac{874-23n+23 }{2}*n](https://tex.z-dn.net/?f=4370%3D+%5Cfrac%7B874-23n%2B23+%7D%7B2%7D%2An)
![4370= \frac{897n-23n^{2} }{2} 4370= \frac{897n-23n^{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=4370%3D+%5Cfrac%7B897n-23n%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D)
8740 = 897n - 23n²
-23n² + 897n - 8740 = 0 → ECUACIÓN DE 2DO GRADO
Con: a = -23, b = 897 y c = -8740
Solución 1:
![\frac{-897+ \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=19 \frac{-897+ \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=19](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B-897%2B+%5Csqrt%7B+897%5E%7B2%7D+-4%2A-23-8740%7D+%7D%7B2%2A-23%7D%3D19)
Solución 2:
![\frac{-897- \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=20 \frac{-897- \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=20](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B-897-+%5Csqrt%7B+897%5E%7B2%7D+-4%2A-23-8740%7D+%7D%7B2%2A-23%7D%3D20)
Tomamos n = 19, por ser la solución menor
Se comprueba:
![Sn= \frac{2 *437+(19-1)*-23 }{2}*19 Sn= \frac{2 *437+(19-1)*-23 }{2}*19](https://tex.z-dn.net/?f=Sn%3D+%5Cfrac%7B2+%2A437%2B%2819-1%29%2A-23+%7D%7B2%7D%2A19+)
![Sn= \frac{874-414 }{2}*19 =4370 Sn= \frac{874-414 }{2}*19 =4370](https://tex.z-dn.net/?f=Sn%3D+%5Cfrac%7B874-414+%7D%7B2%7D%2A19+%3D4370)
Este problema es de progresiones aritméticas, en el cual cada uno de los términos (en este caso precio del anillo) va disminuyendo a una razón o diferencia constante. Observa que:
a₁: 437
a₂: 414
a₃: 391
La diferencia es igual a:
a₂ = a₁ + d
d = a₂ - a₁
d = (414 - 437) = -23
Quiere decir que el precio disminuye a razón de 23$
Ya sabiendo el precio total de la factura, aplicaremos la fórmula de suma en una progresión:
Donde "n", es el término enésimo de la progresión, es decir, el valor que estamos buscando.
8740 = 897n - 23n²
-23n² + 897n - 8740 = 0 → ECUACIÓN DE 2DO GRADO
Con: a = -23, b = 897 y c = -8740
Solución 1:
Solución 2:
Tomamos n = 19, por ser la solución menor
Se comprueba:
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