Question

se deben instalar varios anillos de cemento como base de una torre de televisión. la instalación del primer anillo cuesta $437. del segundo por ser de menor tamaño $414; del tercero $391 y asi sucesivamente segun una progresión aritmética . si al pagar por cada uno de los anillos, el valor total de la factura fue de $4370. determine el numero de anillos de cemento que contiene la torre.

Answer 1

Respuesta: la torre tiene 19 anillos de cemento.

Te adjunto imagen con procediiento

Answer 2

Tenemos una progresión aritmética:

437 ; 414 ; 391 ; .....

Vemos que disminuye de 23 en 23, por lo tanto, la razón r = -23 (razón negativa porque va decreciendo)

Luego nos dice que el valor total de la factura fue de 4370, quiere decir que esa es la suma de los términos de una progresión aritmética ($S_n$), cuya fórmula es:

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Donde n es el número de términos, a₁ es el primer término y aₙ es el último término.

No conocemos ni n ni aₙ, pero sí a₁ = 437

Reemplazando y despejando n:

$4370=\frac{n(437+a_n)}{2}$

$8740=n(437+a_n)$

$n=\frac{8740}{437+a_n}$  ... (1)

Ahora, el término enésimo se calcula como:

$a_n=a_1+(n-1)r$

$a_n=437+(n-1)(-23)$

$a_n=437+23-23n$

$a_n=460-23n$  ...(2)

(1) en (2):

$a_n=460-23.\frac{8740}{437+a_n}$

$a_n=460-\frac{201020}{437+a_n}$

$a_n=\frac{201020+460a_n-201020}{437+a_n}$

$a_n=\frac{460a_n}{437+a_n}$

$437a_n+{a_n}^2=460a_n$

${a_n}^2=23a_n$

Tenemos una ecuación cuadrática, claramente vemos que una solucion es 0, cosa que no puede ser (lo descartamos) y la otra sale de eliminar $a_n$ en cada lado

$a_n=23$

Llevando a (2) podremos hallar n (el número de términos, en este caso, anillos)

$a_n=460-23n$

$23=460-23n$

$23n=437$

$n=19 ~anillos$

Saludos