Question

Se debe revisar si el proceso esta bien hecho ..y si no .. decir donde esta el error

Descarga de un condensador en una resistencia
Supongamos un condensador que tiene una diferencia de potencial Vo entre sus placas cuando se tiene una línea conductora R, la carga acumulada viaja a través de un condensador desde una placa hasta la otra, estableciéndose una corriente de intesidad i intensidad. Así la tensión v en el condensador va disminuyendo gradualmente hasta llegar a ser cero también la corriente en el mismo tiempo en el circuito RC.
Ri=v
i=-c dv/dt
v^'+1/RC v=0
Solucionar por series de potencias la siguiente ecuación diferencial.

Cuando R=1MΩ y C=1μF
Por lo cual se toma arbitrariamente,
v=∑_(m=1)^∞▒〖v_m x^m=v_0+v_1 t+v_2 t^2+v_3 t^3+⋯〗
entonces,
v^'=∑_(m=1)^∞▒〖m〖av〗_m t^(m-1)=v_1+2v_2 t+3v_3 t^2+⋯〗
Reemplazado en la ecuación original,
〖(v〗_1+2v_2 t+3v_3 t^2+⋯)+(v_0+v_1 t+v_2 t^2+v_3 t^3+⋯)=0
Los términos semejantes se suman,
〖(v〗_1+v_0)+( 2v_2+v_1 )t+(3v_3+v_2 ) t^2+⋯=0
Al igualar termino a término se encuentra,
v_1+v_0=0
2v_2+v_1=0
3v_3+v_2=0
Se resuelve el sistema de ecuaciones en términos de a_0
v_1=-v_0
v_2=〖-v〗_1/2=v_0/2
v_3=〖-v〗_2/3=〖-v〗_0/3
Con los nuevos coeficientes queda
v=v_0-vt+v_0/2 t^2-v_0/3 t^3-…
Al factorizar a_0 se tiene,
v=v_0 (1-t+t^2/2-t^3/3+⋯)

ecfa2a41825d4b3d5548f5e6ef55f30f.docx

Answer 1

En resumen piden resolver

         $v=v(t)\\ \\ v'+\dfrac{1}{RC}v=0\\ \\ \text{Donde }R\text{ y } C\text{ son constantes}$

I) Resolución por separación de variables
                      $\displaystyle \dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{1}{RC}v\\ \\ \dfrac{dv}{v}=-\dfrac{1}{RC}dt\\ \\ \int \dfrac{dv}{v}=-\dfrac{1}{RC}\int dt\\ \\ \ln v=-\dfrac{t}{RC}+k\\ \\ \boxed{v=v_0e^{-t/(RC)}}\\ \\m$

II) Resolución 
           
$\displaystyle v=\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_nt^n \\ \\ \\ v'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_nnt^{n-1} \\ \\ \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_nnt^{n-1} +\dfrac{1}{RC}\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_nt^n=0\\ \\ \\ \textit{igualando potencias:}$

$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}v_{n+1}(n+1)t^{n} +\dfrac{1}{RC}\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_nt^n=0\\ \\ \\ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[v_{n+1}(n+1)+\dfrac{1}{RC}v_n\right]t^n=0\\ \\ \\ \text{Comparamos coeficientes}\\ \\ v_{n+1}=-\dfrac{1}{RC}\cdot \dfrac{1}{n+1}v_n\;,\; n\geq 0\\ \\ \\ \text{con }n=0:\;\;v_1=-\dfrac{1}{RC}\\ \\ \text{con }n=1:\;\;v_2=-\dfrac{1}{RC}\cdot \dfrac{1}{2}v_1=\left(\dfrac{1}{RC}\right)^2\cdot \dfrac{1}{2}v_0$

$\text{Con }n=2:\;\;\displaystyle v_3=-\dfrac{1}{RC}\cdot \dfrac{1}{3}v_2=-\left(\dfrac{1}{RC}\right)^3\cdot \dfrac{1}{6}v_0\\ \\ v_n=\left(\dfrac{-1}{RC}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n!}v_0\\ \\ \\ \text{Por lo tanto:}\\ \\ \boxed{v=v_0\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{-t}{RC}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n!}}$