Question

Se construye un cenicero con piezas de aluminio de 14 cm a los que se le cortan cuadrados en las esquinas, doblando los lados hacia arriba ¿cuales son las dimensiones de cada cenicero para que este tenga volumen máximo? ¿cual es el volumen máximo?

Answer 1

Las dimensiones de cada cenicero para un volumen máximo son:

largo = ancho = 28/3 cm

alto = 7/3 cm

El volumen máximo del cenicero es:

Vmax = 203.3  cm³

• Explicación paso a paso:

Datos;

lamina: lado mide = 14 cm

Dimensiones:

• largo = 14 - 2x

• ancho = 14 -2x

• alto = x

volumen:

V(x) = (largo)(ancho)(alto)

Sustituir;

V(x) = (14-2x)(14-2x)(x)

V(x) = x(196-28x-28x+4x²)  

V(x) = 4x³-56x²+196x

Aplicar derivada;

V'(x) = d/dx(4x³-56x²+196x)

V'(x) = 12x²-112x +196

Igualar a cero;

12x²-112x +196 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂= -b±√[b²-4ac]/2a

Sustituir;

x₁,₂= 112±√[112²-4(12)(196)]/2(12)

x₁,₂= 112±√[3136]/24

x₁,₂= 112±56/24

x₁= 7

x₂= 7/3

Evaluar en dimensiones y el volumen;

largo = ancho = 14 - 2(7) = 0 cm

largo = ancho = 14 - 2(7/3) = 28/3 cm

V(7/3) = 4(7/3)³-56(7/3)²+196(7/3)

V(7/3) = 5488/27  

Vmax = 203.3   cm³