Se bombea agua a una razón constante de 2 litros por minuto (1 litro = 1000 centímetros cúbicos) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros, respectivamente. ¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros? Nota: el volumen V, de un cono circular recto truncado de altura h y radios inferior y superior a y b es V=\frac{1}{3}\pih\ast(a^2+ab+b^2)
Respuestas a la pregunta
La velocidad con que se eleva el nivel del agua es de 0,84 cm/s
Explicación:
Datos:
Tanque con forma de cono circular recto truncado:
h = 80 cm
d1= 20 cm
d2= 40 cm
Q = 2 lt/min
¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros?
A esa altura le corresponde un tronco de cono de agua con radio superior "a" y radio inferior b=20 cm
El volumen de agua viene dado por la siguiente expresión:
V = (1/3) π h (a²+ ab+b²=
V = (1/3) π h (a²+a.20+20²)
V = (1/3) π h (a²+20a+400)
Relación de semejanza:
h+80 = 4a
a=(1/4)(h+80)
a= 0,25 h +20
Si reemplazamos en la ecuación del volumen
V = (1/3) π h [ (0,25 h +20)² + 20(0,25 h +20) + 400]
V = (1/3) π h [ 0,0625 h² + 15h + 1200]
V = (1/3) π [ 0,0625 h³ + 15h² + 1200h ]
Obtenemos la ecuación que relaciona el volumen de agua en el tanque con la profundidad de agua
V = (1/3) π [ 0,0625 h³ + 15h² + 1200h ]
Derivamos:
V´ = (1/3) π [ 0,0625 (3h²) + 15(2h) + 1200 ]
V´= (1/3) π [ 0,1875 h² + 30 h + 1200 ]
Cuando la profundidad es de 30 cm:
h=30
Q= 2000 cm³/seg :
Sustituyendo términos:
2000 = (1/3) π [ 0,1875(30)² + 30(30) + 1200] V´
2000 = (1/3) π [ 2268,75]V´
V´ = 2000 * 3 / π [ 2268,75]
V´= 0,84 cm/seg
La velocidad con que se eleva el nivel del agua es de 0,84 cm/s
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