Question

Sacar la derivada de:
f(x)=4x^3+3x^2+6x
Con la fórmula:
m= F(x+∆)-F(x)÷∆

Answer 1

Respuesta:

La derivada de $f(x)=4x^3+3x^2+6x$ es $f'(x)=12x^2+6x+6$ con la definición: $f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}$

Explicación paso a paso:

Sustituimos en la definición:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{(4(x+\Delta)^3+3(x+\Delta)^2+6(x+\Delta))-(4x^3+3x^2+6x)}{\Delta}$

Desarrollamos la potencias:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{(4(x^3+3 x^2\Delta+3 x\Delta^2+\Delta^3)+3(x^2+2x\Delta+\Delta^2)+6(x+\Delta))-(4x^3+3x^2+6x)}{\Delta}$

Productos:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{4x^3+12 x^2\Delta+12 x\Delta^2+4\Delta^3+3x^2+6x\Delta+3\Delta^2+6x+6\Delta-4x^3-3x^2-6x}{\Delta}$

Conmutativa y Simplificación:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{4\Delta^3+3\Delta^2+12x\Delta^2+12x^2\Delta+6x\Delta+6\Delta}{\Delta}$

Factor común:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta(4\Delta^2+3\Delta+12x\Delta+12x^2+6x+6)}{\Delta}$

Simplificando y Agrupando:

$f'(x)= \lim_{\Delta \to 0} 4\Delta^2+3\Delta(1+4x)+6(2x^2+x+1)$

Sustituyendo:

$f'(x)=4(0)^2+3(0)(1+4x)+6(2x^2+x+1)$

Simplificando:

$f'(x)=6(2x^2+x+1)=12x^2+6x+6$

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