Question

Sabiendo que: x + y = 30°; x - y = 53°, reducir:
C = (Senx + Cosx)(Seny + Cosy)

Answer 1

Respuesta:

Primero reescribimos el sistema que nos dieron:

$x + y = 30 \\ x - y = 53$

Ahora escribimos su matriz asociada (A), matriz ampliada(A*), la matriz incognita (X) y la matriz constante (B):

$A = \binom{1 \: \: \: 1 }{1 \: \: - 1} \\ A* = \binom{1 \: \: \: \: 1 \: \: \: 30}{1 \: - 1 \: \: \: 53}$

$X = \binom{x}{y} \\ B = \binom{30}{53}$

Si seguimos la siguiente ecuación matricial:

$A X =B$

Despejando la X:

$A^{ - 1} A X = A^{ - 1} B$

Si tenemos en cuenta que:

$A^{ - 1} A =I\\ \\ IX =X$

Entonces nos queda finalmente asi:

$X = A^{ - 1} B$

Sabemos la matriz B, pero tenemos que obtener la matriz inversa de A. Para eso debemos saber lo siguiente:

$A^{ - 1} = \frac{1}{ |A| } \times {(adjA)}^{t}$

Es decir que la inversa de A es igual a 1 dividido entre el determinante de A multiplicado por la traspuesta de la adjunta de A. Primero calculamos el determinante:

$|A| = | \binom{1 \: \: \: 1}{1 \: \: - 1} | = 1 \times - 1 -1 \times 1 \\ | A| = - 2$

Y ahora la adjunta de A:

$A = \binom{1 \: \: \: 1}{1 \: \: - 1} \\ adjA = \binom{ - 1 \: \: - 1}{ - 1 \: \: \: \: \: 1}$

Y ahora su traspuesta:

${(adjA)}^{t} = \binom{ - 1 \: \: - 1}{ - 1 \: \: \: \: 1}$

Ahora si lo multiplicamos por la inversa de la determinante de A:

$A^{ - 1} = \frac{1}{ |A| } \times {(adjA)}^{t} \\ \\ A^{ - 1} = - \frac{1}{2} \times \binom{ - 1 \: - 1}{ - 1 \: \: \: \: 1} \\ \\ A^{ - 1} = \binom{ \frac{1}{2} \: \: \: \: \: \: \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} \: - \frac{1}{2} }$

Ahora que tenemos la inversa recordemos la ecuación matricial que dejamos aparcada antes:

$X = A^{ - 1} B$

Entonces multiplicamos la inversa de A y B:

$X = \binom{ \frac{1}{2} \: \: \: \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} \: \: \: - \frac{1}{2} } \times \binom{30}{53} \\ \\ X = \binom{30 \times \frac{1}{2} +53 \times \frac{1}{2} }{ 30 \times \frac{1}{2} - 53 \frac{1}{2} } \\ \\ X = \binom{ 41.5}{ - 11.5}$

Entonces obtenemos que la x es 41,5° y la y es -11,5°. Si comprobamos utilizando el método de sustitución en el sistema:

$x + y = 30 \\ x - y = 53 \\ \\ x + y = 30 \\ x = 53 + y \\ \\ 53 + y + y = 30 \\ 2y = - 23 \\ y = \frac{ - 23}{2} = - 11.5$

Luego para x:

$x + y = 30 \\ x - 11.5 = 30 \\ x = 41.5$

Y listo.

Para resolver:

$C= (sen(41.5)+cos(41.5))×(sen(-11.5)+cos(-11.5))$

Pues te diría que usarás calculadora pero hay un par de propiedades que pueden servir pero solo reducen al mínimo posible la expresión.

Espero que hayas entendido todo, buena suerte.