Question

sabiendo que x∈[0;π] y además √(1/2 -cosx) + √(1/2 +cosx)) =t calcular el máximo valor de E=√(√2 -senx) + √(√2 +senx)

Answer 1

analizamos

$\mathrm{\sqrt{\dfrac{1}{2}-cosx}+\sqrt{\dfrac{1}{2}+cosx}=t}$

para que esto suceda

$\mathrm{\dfrac{1}{2}-cosx\geq 0 \ ;\dfrac{1}{2}+cosx\geq 0 }$

osea

$\mathrm{cosx\leq \dfrac{1}{2} \ ; cosx\geq -\dfrac{1}{2}}$

osea

$\mathrm{-\dfrac{1}{2} \leq cosx\leq \dfrac{1}{2} }$

(ver imagen)

como podemos ver

$\mathrm{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leq senx\leq 1 }$

por otro lado tenemos

$\mathrm{E=\sqrt{\sqrt{2}-senx}+\sqrt{\sqrt{2}+senx}}$

$\mathrm{E^{2} =(\sqrt{\sqrt{2}-senx}+\sqrt{\sqrt{2}+senx})^{2}}$

$\mathrm{E^{2}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2-sen^{2}x}}$

$\mathrm{E=\sqrt{2\sqrt{2}+2\sqrt{2-sen^{2}x}} }$

entonces

$\mathrm{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leq senx\leq 1 }$

$\mathrm{\dfrac{3}{4} \leq sen^{2}x\leq 1 }$

$\mathrm{-1 \leq -sen^{2}x\leq -\dfrac{3}{4}}$

$\mathrm{1 \leq 2-sen^{2}x\leq \dfrac{5}{4}}$

$\mathrm{1\leq \sqrt{2-sen^{2}x }\leq \dfrac{\sqrt{5}}{2}}$

$\mathrm{2\leq 2\sqrt{2-sen^{2}x }\leq \sqrt{5} }$

$\mathrm{2+2\sqrt{2} \leq 2\sqrt{2-sen^{2}x }+2\sqrt{2} \leq \sqrt{5}+2\sqrt{2}}$

$\mathrm{\sqrt{2+2\sqrt{2}} \leq \sqrt{2\sqrt{2-sen^{2}x }+2\sqrt{2}} \leq \sqrt{\sqrt{5}+2\sqrt{2}} }$

$\mathrm{\sqrt{2+2\sqrt{2}} \leq E \leq \sqrt{\sqrt{5}+2\sqrt{2}} }$

$\mathrm{E_{max}=\sqrt{\sqrt{5}+2\sqrt{2} } }$

AUTOR: SmithValdez