Question

sabiendo que las variables "α" y "β" son independientes entre si ,calcular la suma del máximo y mínimo valor de N=senα+(1/2)cosβ+|cosβ-1/4|

Answer 1

si consideramos que

$\mathrm{-1-\dfrac{1}{4} \leq cos\beta-\dfrac{1}{4} \leq 1-\dfrac{1}{4} }$

no podemos saber si  $\mathrm{cos\beta -\dfrac{1}{4}}$  es positivo o negativo

entonces decimos  $\mathrm{cos\beta < \dfrac{1}{4} \ \ v \ cos\beta \geq \dfrac{1}{4} }$

• primer caso $\mathrm{cos\beta < \dfrac{1}{4}}$

$\mathrm{N=sen\alpha +\dfrac{1}{2}.cos\beta+|cos\beta -\dfrac{1}{4} | }$

$\mathrm{N=sen\alpha +\dfrac{1}{2}.cos\beta+-(cos\beta -\dfrac{1}{4})}$

$\mathrm{N=sen\alpha -\dfrac{1}{2}.cos\beta+\dfrac{1}{4} }$

sabemos que  $\mathrm{-1 \leq cos\beta < \dfrac{1}{4} \ ....(1) \ ; -1 \leq sen\alpha \leq 1 \ ....(2)}$

$\mathrm{-1 \leq cos\beta < \dfrac{1}{4} }$  multiplicando por -1/2

$\mathrm{ \dfrac{1}{2} \geq -\dfrac{ cos\beta}{2} > -\dfrac{1}{8} } \ ...(3)$

sumando (2) y (3)

$\mathrm{-\dfrac{1}{8} < -\dfrac{cos\beta }{2}\leq \dfrac{1}{2}} \ \ \ \ (+)$

$\mathrm{ -1 \leq sen\alpha \leq 1}$

______________

$\mathrm{-\dfrac{9}{8} < sen\alpha -\dfrac{cos\beta }{2}\leq \dfrac{3}{2}}$  

agregamos 1/4

$\mathrm{-\dfrac{7}{8} < sen\alpha -\dfrac{cos\beta }{2}+\dfrac{1}{4} \leq \dfrac{7}{4}}$

$\mathrm{-\dfrac{7}{8} < N \leq \dfrac{7}{4}}$

• segundo caso $\mathrm{ cos\beta \geq \dfrac{1}{4} }$

$\mathrm{N=sen\alpha +\dfrac{1}{2}.cos\beta+|cos\beta -\dfrac{1}{4} | }$

$\mathrm{N=sen\alpha +\dfrac{1}{2}.cos\beta+cos\beta -\dfrac{1}{4}}$

$\mathrm{N=sen\alpha +\dfrac{3}{2}.cos\beta-\dfrac{1}{4}}$

entonces

$\mathrm{\dfrac{1}{4} \leq cos\beta \leq 1}$ multiplicamos por 3/2

$\mathrm{\dfrac{3}{8} \leq \dfrac{3}{2} cos\beta \leq \dfrac{3}{2} \ \ \ ...(4) }$

sumando (2) y (4)

$\mathrm{\dfrac{3}{8} \leq \dfrac{3}{2} cos\beta \leq \dfrac{3}{2} \ \ \ ...(+) }$

$\mathrm{ -1 \leq sen\alpha \leq 1}$

___________

$\mathrm{-\dfrac{5}{8} \leq sen\alpha +\dfrac{3}{2} cos\beta \leq \dfrac{5}{2}}$

agregamos -1/4

$\mathrm{-\dfrac{7}{8} \leq sen\alpha +\dfrac{3}{2} cos\beta -\dfrac{1}{4} \leq \dfrac{9}{4}}$

$\mathrm{-\dfrac{7}{8} \leq N\leq \dfrac{9}{4}}$

por unión

$\mathrm{-\dfrac{7}{8} \leq N\leq \dfrac{9}{4}}$

la suma del máximo y mínimo será $\mathrm{\dfrac{11}{8} }$

AUTOR: SmithValdez