Question

Sabiendo que las raíces de la ecuación: x2-(5m-1)x+10m=0, son ambas positivas y que además su diferencia es igual a 5, el valor de la suma de estas raíces será:
a)3
b)5
c)9
d)11
e)13

Answer 1

El valor de la suma de las raíces de la ecuación es:

Opción d) 11

¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Es un polinomio que tiene como máximo exponente al grado 2. Además es un lugar geométrico equidistante tiene la forma de un arco, es conocida como ecuación de la parábola.

ax² + bc + c = 0

El discriminantes Δ es que indica el tipo de raíces de la ecuación:

Δ = b² - 4ac

• Si Δ > 0 las raíces son reales y distintas
• Si Δ = 0 las raíces son iguales
• Si Δ < 0 no hay raíces reales

Sus raíces son:

• x₁ = (-b + √Δ) ÷ 2a
• x₂ = (-b - √Δ) ÷ 2a

¿Cuál es el valor de la suma de las raíces?

Sí, ambas son positivas y su diferencia es 5.

Ecuación: x² - (5m-1)x + 10m = 0

Siendo;

• a = 1
• b = -(5m - 1)
• c = 10m

Sustituir en Δ:

Δ = (5m - 1)² - 4(10m)

Aplicar binomio cuadrado;

Δ = 25m² - 10m + 1 - 40m

Δ = 25m² - 50m + 1

Sustituir;

x₁ = [(5m-1) + √(25m² - 50m + 1)] ÷ 2

x₂ = [(5m-1) - √(25m² - 50m + 1)] ÷ 2

Sí, x₁  - x₂ = 5

Sustituir;

[(5m-1) + √(25m² - 50m + 1)] ÷ 2 - [(5m-1) - √(25m² - 50m + 1)] ÷ 2  = 5

(5m-1) + √(25m² - 50m + 1) - (5m-1) + √(25m² - 50m + 1)  = 5(2)

2√(25m² - 50m + 1) = 10

√(25m² - 50m + 1) = 10/2

√(25m² - 50m + 1) = 5

25m² - 50m + 1 = 5²

25m² - 50m + 1 = 25

Igualar a cero;

25m² - 50m - 24 = 0

Aplicar la resolvente;

$m_{1,2} =\frac{50\pm\sqrt{50^{2}-4(25)(-24) } }{2(25)} \\\\m_{1,2} =\frac{50\pm\sqrt{4900} }{50} \\\\m_{1,2} =\frac{50\pm70 }{50}$

m₁ = 12/5

m₂ = -2/5

Sustituir m₁;

x₁ = [(5(12/5)-1) + √(25(12/5)² - 50(12/5)+ 1)] ÷ 2 = 8

x₂ = [(5(12/5)-1) - √(25(12/5)² - 50(12/5) + 1)] ÷ 2 = 3

Sustituir en la suma de las raíces;

x₁ + x₂ = 8 + 3

x₁ + x₂ = 11

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