Question

Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 12 y el vigésimo séptimo es 104, calcula el lugar que ocupa la posición 35 en dicha progresión. A continuación halla la suma de los 35 primeros terminos

Answer 1

Respuesta:

El término que ocupa la posición 35 es   :  a₃₅ = 3104/21 = 147¹⁷/₂₁

La suma de estos 35 términos es  :  S = 3850/3 = 1283¹/₃

Explicación paso a paso:

En este caso es mejor trabajar con fracciones , con decimales se pierden muchos valores

Primero debemos calcular la diferencia entre términos , esto lo hacemos considerando como primer término 12 y el número 104 como el término 22

entonces , aplicando la expresión correspondiente

an = a₁ + (  n - 1 ) d

despejamos "d"

d = an - a₁ /  ( n - 1 )

con n = 22   ; a₁ = 12  ; an = 104

d = 104 - 12 / 22 - 1

d = 92/21

Ahora calculamos el verdadero a₁ con a₄ = 12  ;  n = 4  ; d = 92/21

a₁ = a₄ - ( 4 - 1 ) ( 92/21 )

a₁ = 12 - ( 3 ) ( 92/21 )

a₁ = 12 - 276/21

a₁ = 252/21 - 276/21

a₁ = - 24/21

calculamos el término que ocupa el lugar 35

a₃₅ = a₁ + ( 35 - 1 ) ( 92/21 )

a₃₅ = - 24/21 + ( 34 ) ( 92/21 )

a₃₅ = - 24/21 + 3128/21

a₃₅ = 3104/21  ( en mixto sería 147¹⁷/₂₁ )

Para la suma de los primeros 35 términos utilizamos

S = n ( a₁ + an ) / 2

S = ( 35 ) ( - 24/21 + 3104/21 ) / 2

S = ( 35 ) ( 3080/21 ) / 2

S = 107800/21 / 2

S = 53900/42

S = 26950/21

S = 3850/3

S = 1283¹/₃

Podemos comprobar que el término 25 es 104

a₂₅ = a₁ + ( 25 - 1 ) d

a₂₅ = - 24/21 + ( 24 ) ( 92/21 )

a₂₅ = - 24/21 + 2208/21

a₂₅ = 2184/21

a₂₅ = 104

Answer 2

Respuesta:

el lugar que ocupa la posición 35 es 136 y la suma de los primeros 35 terminos es: 2380

Explicación paso a paso:

1. En la progresión tenemos que a₄= 12  y a₂₇=104.
2. Primero necesitamos calcular la diferencia de la progresión, 104 le restamos los 12 y nos da como resultado 92, ahora la diferencia de posiciones es 27 - 4= 23. Dividimos:  92 ÷ 23 = 4. Este resultado representa la diferencia d=4
3. sabiendo esto procedemos a sacar los primeros 4 terminos de la progresión: a₄=12, a₃= (12-4) =8, a₂=(8-4)=4, a₁= (4-4)=0.
4. a₁=0, a₂=4, a₃=8, a₄=12..........a₂₇=104.........a₃₅=?.
5. aₙ= a₁+(n-1) ₓ d  sustituyendo: a₃₅= 0 + (35-1) ₓ 4   a₃₅= 34ₓ4   a₃₅= 136.

• sₙ = $\frac{n (a_{1} 1 + a_{n} )}{2}$  sustiyuyendo: s₃₅= $\frac{35(0+136)}{2}$   s₃₅ = $\frac{35*136}{2}$ s₃₅= 2380