Question

Sabiendo que 12n tiene 88 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene 15n ?

Answer 1

El numero $15^{n}$, tiene un total de 46 divisores compuestos.

Para determinar que cantidad de divisores tiene el numero $15^{n}$, vamos a usar varios teoremas de números.

a) El numero total de divisores de un numero es igual a:

Numero de divisores= Divisores primos + divisores compuestos +1

b) El numero total de divisores de un numero se calcula como:

Cualquier numero lo puedes expresar en terminos de su función canónica, hasta que quede expresado como:

                                XXXX = $A^{n} *B^{m} *C^{K} .........*D^{i}$

Siendo XXXX, un numero entero positivo, y A,B,C,D, n, m, k , i números enteros y positivos..

Puedes calcular el total de divisores de XXXX como:

                             Total divisores= (n+1) (m+1) (k+1) (i+1)

c) Para determinar el numero de divisores primos, debemos sumar cuantas bases tenga la función canónica del numero, es decir:

                                XXXX = $A^{n} *B^{m} *C^{K} .........*D^{i}$

• A: Base numero 1
• B: Base numero 2
• C: Base numero 3
• D: Base numero i

Numero de divisores primos: i

1) Ahora calcularemos el total del divisores de $12^{n}$

        Descomponiendo $12^{n}$ hasta su función canónica:

                                                     $12^{n}=2^{2n}3^{n}$

        Por ende el total de divisores sera:

                        Total divisores=(2n+1)(n+1)   ......  Ecuación 1

2) Para determinar cuantos divisores primos tiene  $12^{n}$, debemos sumar la cantidad de bases, es decir:

                                                     $12^{n}=2^{2n}3^{n}$

Tiene 2 bases (2 y 3), por ende tiene 2 divisores primos.

3) Se sabe que  $12^{n}$, tiene 88 divisores compuestos, por ende:

      Numero de divisores= Divisores primos + divisores compuestos +1

                                Numero de divisores= 2 + 88 +1

                                    Numero de divisores=91

Sustituyendo en la ecuación 1.

                                    Total divisores=(2n+1)(n+1)

                                                91=(2n+1)(n+1)

                                                91=2n²+2n+n+1

                                                91=2n²+3n+1

                                                0=2n²+3n-90

Resolviendo la ecuación cuadrática de 2do grado, se obtiene:

                                                 n₁ = 6   n₂=-7,5

Por ende se determina que n es igual a 6 (n=6)

4)  ¿Cuántos divisores tiene $15^{n}$ = $15^{6}$?

        Descomponiendo $15^{n}$ hasta su función canónica:

                                                     $15^{6}=3^{6}5^{6}$

        Por ende el total de divisores sera:

                                           Total divisores=(6+1)(6+1)

                                           Total divisores=49

5) Para determinar cuantos divisores primos tiene  $15^{6}$, debemos sumar la cantidad de bases, es decir:

                                                     $15^{6}=3^{6}5^{6}$

Tiene 2 bases (3 y 5), por ende tiene 2 divisores primos.

5) Se sabe que  $15^{6}$, tiene 49 divisores totales, por ende:

      Numero de divisores= Divisores primos + divisores compuestos +1

                                 49= 2 + divisores compuestos +1

                                    49-2-1=  divisores compuestos

                                    divisores compuestos = 46

Por consiguiente el numero $15^{n}$, tiene un total de 46 divisores compuestos.

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