Question

Roberto tiene una estatura de 2 metros y observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 53° y la parte superior, con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuál es la altura del poste?

Answer 1

La altura del poste de luz es de 3.50 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Donde los triángulos dados de 37-53 y de 45-45 resultan ser lo que se denomina triángulo notable

Dado que una persona de determinada estatura observa la parte inferior de un poste de luz con un ángulo de depresión de 53° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 45°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del poste de luz-, visto con un ángulo de depresión de 53°, el lado DB que es una porción de la altura del poste de luz y a la vez coincide con la estatura del observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al poste de luz y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x"-, la cual es una preincógnita

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del poste de luz-, visto con un ángulo de elevación de 45°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del poste de luz, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" al poste de luz

Donde se pide hallar la altura "h" del poste de luz

Por tanto se determinará primero la distancia "x" -desde el observador hasta el poste de luz- , y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del poste de luz

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ABD

Hallamos la distancia x - distancia desde el observador al poste de luz-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 53^o}$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ estatura\ persona }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ estatura\ persona }{ tan(53^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 2 \ m }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 2 \ m }{ \frac{4}{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 2 \ m \ . \ \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{6}{4} \ m }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 1.50 \ metros } }$

La distancia desde el observador hasta el poste de luz es de 1.50 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

En ACD

Hallamos la distancia y - porción de la altura del poste de luz-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta =45^o }$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la porción de la altura del poste de luz será igual que la distancia desde el observador hasta el poste

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =1.50 \ m \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =1.50 \ m \ . \ 1 } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 1.50 \ metros } }$

La distancia y es de 1.50 metros- siendo una parte de la altura del poste de luz-

Hallamos la altura h del poste de luz

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Poste\ (h) = estatura\ persona \ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Poste\ (h) = 2 \ m +\ 1.50 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Poste\ (h)= 3.50 \ metros } }$

La altura del poste de luz es de 3.50 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto