Question

Resuelve los siguientes triangulos oblicuangulos, calculando los datos faltantes
Redondea tu resultado a 4 decimales si es necesario
a = 19. b = 15 y <C = 49,
a=3, B=5, y C= 41
a=12.2, B=12.2 y C=10.01
a=13.9, B=17.9 y C=15.8​

Answer 1

Ejercicio 1: El lado c tiene un valor de  14.56 unidades. El ángulo A tiene un valor de 79.98° y el ángulo B de 51.02°

Ejercicio 2: El ángulo A tiene un valor de 134°. El lado b mide 0.36 unidades y el lado c mide 2.74 unidades

Ejercicio 3: El ángulo A tiene un valor de 157.79°. El lado b mide 6.82 unidades y el lado c mide 5.61 unidades

Ejercicio 4: El ángulo A tiene un valor de 146.3° Los lados b y c miden 7.7 unidades y 6.82 unidades respectivamente  

Se tratan de problemas trigonométrico en triángulos oblicuángulos.

Para resolver triángulos no rectángulos como estos se empleará el teorema del coseno y el teorema del seno

Donde emplearemos la notación habitual para esta clase de problemas, en donde dado un determinado triángulo ABC, siendo cada uno de estos sus ángulos, los lados a, b y c serán los lados respectivamente opuestos a tales ángulos

Solución

EJERCICIO 1

Datos

• Lado a = 19 unidades

• Lado b = 15 unidades

• Ángulo C = 49°

Hallaremos el valor del lado faltante, el Lado c, empleando el teorema del coseno

Este teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallamos el valor del lado c

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 19 \ u)^{2} + (15 \ u)^{2} - 2 \ . \ 19 \ u \ . \ 15 \ u\ . \ cos(49)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 361 \ u^{2} + 225 \ u^{2} - 570 \ u^{2} \ . \ cos(49)^o }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 586\ u^{2} - 570 \ u^{2} \ . \ 065605902899 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 586\ u^{2} - 373.9536465 \ u^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =212.04635347\ u^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{212.04635347 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{212.04635347 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c = 14.56181147 \ u}}$

$\large\boxed {\bold { c= 14.56\ u}}$

Hallamos el valor de los ángulos faltantes empleando el teorema del seno

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( A )} = \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

Determinamos el ángulo A

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( A )} = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 19 \ u }{ sen( A )} = \frac{14.56181147 \ u}{sen(49) ^o} }}$

$\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 19 \ u \ . \ sen(49) ^o }{ 14.56181147 \ u } }}$

$\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ 19 \ u \ . \ 0.7547095802 }{ 14.56181147 \ u } }}$

$\boxed { \bold {sen (A) = 0.98473202 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold { (A) = arcsen( 0.98473202) }}$

$\large\boxed { \bold { (A) = 79.98^ o }}$

El ángulo A tiene un valor de 79.98°

Determinamos el valor del ángulo B

Como la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed { \bold { (B) = 180^o - C- A }}$

$\boxed { \bold { (B) = 180^o - 49^o - 79.98 ^o }}$

$\large\boxed { \bold { (B) =51.02 ^o }}$

El ángulo B tiene un valor de 51.02°

Para los 3 ejercicios siguientes dado que para los 3 se conocen el valor de dos ángulos y un lado se resuelven los triángulos oblicuángulos empleando el teorema del seno

Hablamos del teorema del seno en el ejercicio anterior

Y el ángulo faltante se determina por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo

Dado lo extenso del ejercicio, se agrega la resolución de los ejercicios 2, 3 y 4 en un archivo adjunto

Se agregan también las gráficas correspondientes para cada uno de los ejercicios para mejor comprensión de las relaciones entre los ángulos y los lados que han sido planteadas

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