Question

Resuelve los siguientes ejercicios: Un taller de cómputo de la Colonia Obrera en la Ciudad de México, midió los tiempos de reparación de unas impresoras. Tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media de 22 minutos. A partir de esta información se solicita: Encontrar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor a diez minutos. a) Si el costo de reparación es de 1,500 pesos por cada media hora o fracción, ¿cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 3,000 pesos? b) Para efectuar una programación, ¿cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación, para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1? c) Se lanza un dado equilibrado produciendo el espacio equiprobable S= {1,2,3,4,5,6} Sea X el doble del número que aparece. Encuentre la distribución ƒ, la media µx, la varianza σx2 y la desviación estándar σx de X.

Answer 1

Solución:

  Se define una variable aleatoria x que representa el tiempo de reparación


  ( en minutos)de las impresoras y sigue una distribución exponencial de 


  parámetro  λ = ( EΙxΙ )⁻¹ = 1 /22 . Por lo tanto, la función densidad de esta 


  variable es :

                                      - ˣ/₂₂
           fx (x) = (1 / 22 )*е         , x > 0



     La  probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que diez

    minutos es:


                              ¹⁰              ⁻ˣ/₂₂            ⁻ˣ/₂₂  ₁₀            ⁻⁵/ ₁₁           
         P ( x<10 ) = ∫₀   (1/22) *е       θx = - е        Ι₀   = 1 - е


 a)     Para un tiempo de reparación dado, el costo de reparación se


       obtiene  a partir del numero total de fracciones de media hora 


       y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30 . ) Todos se 


      cobran a 1,500 pesos ). Teniendo esto en cuenta , se observa que 


      una reparación costara 3,000 pesos siempre que su duración sea
 

      superior a 30 minutos e inferior o igual  a 60 minutos (así cada fracción


      de la segunda media  se cobrara como una media hora entera ). Así :


                                      ₆₀               ⁻ˣ/₂₂             ⁻³⁰/₁₁      ⁻¹⁵/₁₁
         P ( 30< x ≤ 69 ) =∫₃₀  ( 1/22)* е       θx = - е        + е



      Se representa por t  ( t > 0)  el tiempo asignando a una reparación

      ( en minutos) . 


           P ( x > t ) = 0.1    

            ∞                 ⁻ˣ /₂₂            ⁻ˣ /₂₂    ∞        ⁻ t/₂₂
          ∫     ( 1 /22) * е       θx = - е          Ι     =  е           = 0.1 
            t                                                  t


         y esto se cumple para t = - 22 * ln 0.1 = 50.657 ≈ 51 minutos.



c ) Aquí  X(1) = 2  , X ( 2) = 4 , X (3 ) = 6 , X (4 ) = 8 ,X(5) = 10 , X ( 6 ) = 12
 

    
     También, cada numero tiene probabilidad 1 / 6 . Por lo tanto , la siguiente

     es la distribución f de X :


             X         2        4       6      8      10    12
          ____________________________________________

            f(x)      1/6     1/6     1/6   1/6    1/6    1/6 



           μx = E ( X ) =Σ xi * f(xi)=

    

         =2*(1/6) + 4*(1/6) + 6*(1/6)+8*(1/6) +10*(1/6) + 12*(1/6) =42 /6 = 7



        E(X²) = Σ xi² f(xi) = 


   
  = 4 *( 1/6) + 16 *( 1/6) + 36 *( 1/6) + 64*(1/6) + 100 *( 1/6) + 144*( 1/ 6) =

  = 354 / 6 = 60.7


     Entonces,       σₓ² = var ( X) = E ( X² ) - μx²= 60.7 - (7)² = 11.7


                            σₓ = √ var (X) = √ 11.7 = 3.4.