Question

Resuelve lo que se indica en cada planteamiento.

1. Una circunferencia pasa por los puntos A(5, -3), B(6,4) y C(-3, 1). Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por estos puntos.
porfas alguien que le tenga pásenme la porfas doy 50 puntos quien me la pasé completa​

Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0  

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: A=(\underbrace{\mathsf{5}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{-3}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (5)^2+(-3)^2+D(5)+E(-3)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 25+9 + 5D - 3E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 34 + 5D - 3E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 5D - 3E+F = -34}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: B=(\underbrace{\mathsf{6}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{4}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (6)^2+(4)^2+D(6)+E(4)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 36+16 + 6D + 4E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 52 + 6D + 4E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 6D + 4E+F = -52}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: C=(\underbrace{\mathsf{-3}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{1}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (-3)^2+(1)^2+D(-3)+E(1)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 9+1 - 3D + 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 10 - 3D + 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ -3D + 1E+F = -10}}}\sqrt{x}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{\:\:\: 5D - 3E+F = -34}\\\\\mathsf{\:\:\: 6D + 4E+F = -52}\\\\\mathsf{ -3D + 1E+F = -10}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}5 & -3 & 1 & -34\\6 & 4 & 1 & -52\\ -3 & 1 & 1 & -10\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}5 & -3 & 1\\6 & 4 & 1\\ -3 & 1 & 1\end{array}\right|=60}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-34 & -3 & 1\\-52 & 4 & 1\\ -10 & 1 & 1\end{array}\right|=-240}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}5 & -34 & 1\\6 & -52 & 1\\ -3 & -10 & 1\end{array}\right|=-120}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}5 & -3 & -34\\6 & 4 & -52\\ -3 & 1 & -10\end{array}\right|=-1200}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{-240}{60}=-4}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{-120}{60}=-2}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{-1200}{60}=-20}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                    $\mathrm{\:\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(-4)x+(-2)y+(-20)=0}\\\\\\\mathsf{\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-4x-2y-20=0}}}}}$

 

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$