Question

resuelve las siguientes escuaciones usando la formula general para resolver ecuaciones cuadraticas a.x2+3x-10=0 b.x2-3x-4=0 c.-x2-4x-2=0 d.-2x2-x=6 e.(x+2)2+1=0 f.(x+3)2-4=0 g.-0,5x2+2x+1.5=0 h.1,5x2+2x=0

Answer 1

Una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es de la forma;

Ax² + Bx + C = 0

Para hallar los valores de las Raíces se utiliza la Resolvente:

X1,2 = {– B ± √[(B)² – 4AC]} ÷ 2A

Donde:

A: coeficiente que acompaña al termino cuadrático.

B: coeficiente que acompaña al termino elevado a la unidad.

C: Coeficiente del término independiente o constante.

Resolviendo.

a) x² + 3x – 10 = 0

A = 1; B = 3; C = – 10

X1,2 = {– (3) ± √[(3)² – 4(1)(– 10)]} ÷ 2(1)

X1,2 = {– 3 ± √(9 + 40)} ÷ 2

X1,2 = {– 3 ± √49} ÷ 2

X1,2 = {– 3 ± 7} ÷ 2

X1 = {– 3 + 7} ÷ 2

X1 = 4 ÷ 2

X1 = 2

X2 = {– 3 – 7} ÷ 2

X2 = – 10 ÷ 2

X2 = – 5

b) x² – 3x – 4 = 0  

A = 1; B = – 3; C = – 4

X1,2 = {– (– 3) ± √ [(– 3)² – 4(1)(– 4)]} ÷ 2(1)

X1,2 = {3 ± √(9 + 16)} ÷ 2

X1,2 = {3 ± √25} ÷ 2

X1,2 = {3 ± 5} ÷ 2

X1 = {3 + 5} ÷ 2

X1 = 8 ÷ 2

X1 = 4

X2 = {3 – 5} ÷ 2

X2 = – 2 ÷ 2

X2 = 1

c) x² – 4x – 2 = 0  

A = 1; B = – 4; C = – 2

X1,2 = {– (– 4) ± √[(– 4)² – 4(1)( – 2)]} ÷ 2(1)

X1,2 = {4 ± √(16 + 8)} ÷ 2

X1,2 = {4 ± √24} ÷ 2

X1,2 = {4 ± 4,9} ÷ 2

X1 = {4 + 4,9} ÷ 2

X1 = 8,9 ÷ 2

X1 = 4,45

X2 = {4 – 4,9} ÷ 2

X2 = – 0,9 ÷ 2

X2 = – 0,45

d) 2x² – x = 6  

Ordenando la ecuación:

2x² – x – 6 = 0

A = 2; B = – 1; C = – 6

X1,2 = {– (– 1) ± √[(– 1)² – 4(2)(– 6)]} ÷ 2(2)

X1,2 = {1 ± √(1 + 48)} ÷ 4

X1,2 = {1 ± √49} ÷ 4

X1,2 = {1 ± 7} ÷ 4

X1 = {1 + 7} ÷ 4

X1 = 8 ÷ 4

X1 = 2

X2 = {1 – 7} ÷ 4

X2 = – 6 ÷ 4

X2 = – 3/2 = – 1,5

e) (x + 2)² + 1 = 0  

Desarrollando la ecuación.

x² + 4x + 4 + 1 = 0

x² + 4x + 5 = 0

A = 1; B = 4; C = 5

X1,2 = {– (4) ± √[(4)² – 4(1)(5)]} ÷ 2(1)

X1,2 = {– 4 ± √(16 – 20)} ÷ 2

X1,2 = {– 4 ± √(– 4)} ÷ 2

La base de los Números Complejos es:

√– 1 = i

X1,2 = {– 4 ± √(– 4)} ÷ 2

X1,2 = {– 4 ± i√4} ÷ 2

X1,2 = {– 4 ± 2i} ÷ 2

X1 = {– 4 + 2i} ÷ 2

X1 = – 2 + i

X2 = {– 4 – 2i} ÷ 2

X2 = – 2 – i

f) (x + 3)² – 4 = 0  

Desarrollando la ecuación.

x² + 6x + 9 – 4 = 0

x² + 6x + 5 = 0

A = 1; B = 6; C = – 4

X1,2 = {– (6) ± √[(6)² – 4(1)(– 4)]} ÷ 2(1)

X1,2 = {– 6 ± √(36 + 16)} ÷ 2

X1,2 = {– 6 ± √52} ÷ 2

X1,2 = {– 6 ± 7,2} ÷ 2

X1 = {– 6 + 7,2} ÷ 2

X1 = 1,2 ÷ 2

X1 = 0,6

X2 = {– 6 – 7,2} ÷ 2

X2 = {– 13,2} ÷ 2

X2 = – 6,6

g) 0,5x² + 2x + 1,5 = 0  

A = 0,5; B = 2; C = 1,5

X1,2 = {– (2) ± √[(2)² – 4(0,5)(1,5)]} ÷ 2(0,5)

X1,2 = {– 2 ± √(4 – 3)} ÷ 1

X1,2 = {– 2 ± √1}

X1,2 = – 2 ± 1

X1 = – 2 ± 1

X1 = – 1

X2 = – 2 – 1

X2 = – 3

h) 1,5x² + 2x = 0

A = 1,5; B = 2; C = 0

X1,2 = {– (2) ± √(2)² – 4(1.5)(0)]} ÷ 2(1,5)

X1,2 = {– 2 ± √(4 – 0)} ÷ 2(1,5)

X1,2 = {– 2 ± √4} ÷ 3

X1,2 = {– 2 ± 2} ÷ 3

X1 = {– 2 + 2} ÷ 3

X1 = 0

X2 = {– 2 – 2} ÷ 3

X2 = – 4 ÷ 3

X2 = – 4 = 1,33…..

Answer 2

Para cada una de las ecuaciones cuadráticas mostradas, se obtienen los siguientes valores aplicando la fórmula general:

• a: x = 2 y x = -5.
• b: x = 4 y x = -1.
• c: x = -3,414 y x = -0,586.
• d: No tiene solución dentro del conjunto de los números reales.
• e: No tiene solución dentro del conjunto de los números reales.
• f: x = -1 y x = -5.
• g: x = -0,646 y x = -4,646.
• h: x = 0 y x = -1,33.

¿Qué es una Ecuación de Segundo Grado?

Se trata de una ecuación de la forma "ax² + bx + c = 0", donde "a" debe ser distinto de cero, y que puede tener dos, una o ninguna solución.

Las soluciones o raíces de la ecuación, se consiguen con la expresión:

x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a

• a: x² + 3x - 10 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 3 y c = -10.

x = [-3 ± √(3² - 4 * 1 * -10)]/(2 * 1)

x = [-3 ± √(9 + 40)]/2

x = [-3 ± √(49)]/2

x = (-3 ± 7)/2

Se tienen dos soluciones:

x = (-3 + 7)/2

x = 4/2

x = 2

x = (-3 - 7)/2

x = -10/2

x = -5

• b: x² - 3x - 4 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = -3 y c = -4.

x = [-(-3) ± √((-3)² - 4 * 1 * -4)]/(2 * 1)

x = [3 ± √(9 + 16)]/2

x = [3 ± √(25)]/2

x = (3 ± 5)/2

Se tienen dos soluciones:

x = (3 + 5)/2

x = 8/2

x = 4

x = (3 - 5)/2

x = -2/2

x = -1

• c: -x² - 4x - 2 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = -1, b = -4 y c = -2.

x = [-(-4) ± √((-4)² - 4 * -1 * -2)]/(2 * -1)

x = [4 ± √(16 - 8)]/(-2)

x = [4 ± √(8)]/(-2)

x = (4 ± 2,828)/(-2)

Se tienen dos soluciones:

x = (4 + 2,828)/(-2)

x = 6,828/-2

x = -3,414

x = (4 - 2,828)/(-2)

x = 1,172/-2

x = -0,586

• d: -2x² - x = 6

Se reescribe la ecuación como: 2x² + x + 6 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 2, b = 1 y c = 6.

x = [-1 ± √(1² - 4 * 2 * 6)]/(2 * 2)

x = [-1 ± √(1 - 48)]/4

x = [-1 ± √(-47)]/4

Esta ecuación no tiene solución dentro del conjunto de los números reales debido a que contiene una raíz cuadrada con radicando negativo.

• e: (x + 2)² + 1 = 0

Se reescribe la ecuación como: x² + 4x + 5 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 4 y c = 5.

x = [-4 ± √(4² - 4 * 1 * 5)]/(2 * 1)

x = [-4 ± √(16 - 20)]/2

x = [-4 ± √(-4)]/2

Esta ecuación no tiene solución dentro del conjunto de los números reales debido a que contiene una raíz cuadrada con radicando negativo.

• f: (x + 3)² - 4 = 0

Se reescribe la ecuación como: x² + 6x + 5 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 6 y c = 5.

x = [-6 ± √(6² - 4 * 1 * 5)]/(2 * 1)

x = [-6 ± √(36 - 20)]/2

x = [-6 ± √(16)]/2

x = (-6 ± 4)/2

Se tienen dos soluciones:

x = (-6 + 4)/2

x = -2/2

x = -1

x = (-6 - 4)/2

x = -10/2

x = -5

• g: -0,5x² + 2x + 1,5 = 0

Se puede multiplicar la ecuación por 2, y se reescribe: -x² + 4x + 3 = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = -1, b = 4 y c = 3.

x = [-4 ± √(4² - 4 * -1 * 3)]/(2 * -1)

x = [-4 ± √(16 + 12)]/-2

x = [-4 ± √(28)]/-2

x = (-4 ± 5,292)/-2

Se tienen dos soluciones:

x = (-4 + 5,292)/-2

x = 1,292/-2

x = -0,646

x = (-4 - 5,292)/-2

x = -9,292/-2

x = -4,646

• h: 1,5x² + 2x = 0

Se puede multiplicar la ecuación por 2, y se reescribe: 3x² + 4x = 0

Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 3, b = 4 y c = 0.

x = [-4 ± √(4² - 4 * 3 * 0)]/(2 * 3)

x = [-4 ± √(16 - 0)]/6

x = [-4 ± √(16)]/6

x = (-4 ± 4)/6

Se tienen dos soluciones:

x = (-4 + 4)/6

x = 0

x = (-4 - 4)/6

x = -8/6

x = -1,33

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