Question

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas
PONER PROCEDIMIENTO
A-. log√3 (√x+1) = 1 +log√3 (√x-1)
B-. Ln (x^2+x) + Lne = Ln (x+1)
C-. Ln(x^2-3) - Ln (x+1) = e

Answer 1

Explicación paso a paso:

                                     Resolución:

a)

                    $\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{x+1} )=1+\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{x-1} )$

                  $\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{x+1} )=\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3} )+\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{x-1} )$

                        $\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{x+1} )=\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3} (\sqrt{x-1} )$

                 Como se tiene la misma base igualamos sus argumentos:

                                 $\sqrt{x+1} =(\sqrt{3})(\sqrt{x-1} )$

                                 $(\sqrt{x+1} )^2=((\sqrt{3} )(\sqrt{x-1} ))^2$

                                      $x+1=(3)(x-1)$

                                        $x+1=3x-3$

                                        $x-3x=-3-1$

                                           $-2x=-4$

                                              $x=\frac{-4}{-2}$

                                                $x=2$

                                             Solución:

                                                $x=2$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)

                                $\ln(x^2+x)+\ln (e)=\ln(x+1)$      

                                   $\ln(e(x^2+x))=\ln(x+1)$  

                 Como se tiene la misma base igualamos argumentos:      

                                      $e(x^2+x)=x+1$

                                     $ex^2+ex=x+1$

                                     $ex^2+ex-x=1$

                                     $ex^2+(e-1)x=1$

                                        $\frac{ex^2+(e-1)x}{e}=\frac{1}{e}$

                                       $\frac{ex^2}{e} +\frac{(e-1)x}{e}=\frac{1}{e}$

                                       $x^2+\frac{(e-1)x}{e} =\frac{1}{e}$

                               $x^2+\frac{(e-1)x}{e} +\frac{(e-1)^2}{4e^2}-\frac{(e-1)^2}{4e^2} =\frac{1}{e}$

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e})^2 =\frac{1}{e} +\frac{(e-1)^2 }{4e^2}$

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{4e^2+e(e-1)^2}{4e^3}$                                  

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{e(4e+(e-1)^2)}{4e^3}$

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{4e+(e-1)^2 }{4e^2}$

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{4e+(e^2-2e+1)}{4e^2}$

                                    $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{4e+e^2-2e+1}{4e^2}$

                                      $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{e^2+2e+1}{4e^2}$

                                      $(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2=\frac{(e+1)^2}{4e^2}$  

                                   $\sqrt{(x+\frac{(e-1)}{2e} )^2} =\sqrt{\frac{(e+1)^2}{4e^2} }$

                                         $x+\frac{(e-1)}{2e}=\frac{e+1}{2e}$

                                         $x=\frac{e+1}{2e}-\frac{(e-1)}{2e}$          

                                           $x=\frac{e+1-e+1}{2e}$

                                               $x=\frac{2}{2e}$

                                                $x=\frac{1}{e}$

                                                Solución:

                                                  $x=\frac{1}{e}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)

                                      $\ln(x^2-3)-\ln(x+1)=e$  

                                              $\ln(\frac{x^2-3}{x+1})=e$

                                      Aplicamos antilogaritmo:

                                             $e^e=\frac{x^2-3}{x+1}$

                                        $e^e(x+1)=x^2-3$

                                         $e^ex+e^e=x^2-3$

                                        $e^e+3=x^2-e^ex$

                                        $x^2-e^ex=e^e+3$

                                  $x^2-e^ex+\frac{e^{2e}}{4}-\frac{e^{2e}}{4}=e^e+3$

                                     $(x-\frac{e^e}{2} )^2=(e^e+3)+\frac{e^{2e}}{4}$

                                      $(x-\frac{e^e}{2} )^2=\frac{4(e^e+3)+e^{2e}}{4}$

                                      $(x-\frac{e^e}{2} )^2=\frac{4e^e+12+e^{2e}}{4}$                                                                                        $(x-\frac{e^e}{2} )^2=\frac{e^{2e}+4e^e+12}{4}$

                                    $\sqrt{(x-\frac{e^e}{2})^2 } =\sqrt{\frac{e^{2e}+4e^e+12}{4} }$

                                       $x-\frac{e^e}{2} =\frac{\sqrt{e^{2e}+4e^e+12} }{2}$

                                      $x=\frac{\sqrt{e^{2e}+4e^e+12} }{2}+\frac{e^e}{2}$              

                                      $x=\frac{\sqrt{e^{2e}+4e^e+12}+e^e }{2}$