Question

Resuelve las siguientes ecuaciones logaritmica .Ayuda por favor...... log3√(x2-6x+17)=2
2log5 (x+1)-log5(x-1)=1
log6(2x)-log6(x+1)=0

Answer 1

A continuación se muestran las soluciones a cada ejercicio

1. $x=\frac{6\pm \sqrt{292}}{2}$
2. no tiene solucion real
3. x=1

Primera pregunta

Para poder resolver esta pregunta debemos saber un conjunto de propiedades de los logaritmos, especialmente estos

• $log(a^b) = blog(a)$
• $x = log_{b}(a) \implies a = b^x$

Además, debemos recordar la ecuación general de segundo grado

$ax^2+bx+c = 0\\\\x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$

Por lo que procedemos a resolverlo

$log_{3}(x^{2}-6x+17)^{\frac{1}{2}} = 2\\\\\\ \frac{log_{3}(x^{2}-6x+17)}{2} = 2\\\\\log_{3}(x^{2}-6x+17) = 4\\\\\\x^{2}-6x+17 = 3^{4}=81\\x^{2} - 6x -81+17 = 0 \\x^{2} -6x -64 = 0\\\\x = \frac{6 \pm \sqrt{36+4*64} }{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36+256} }{2} = \frac{6 \pm \sqrt{292} }{2}$

Segunda pregunta

Para resolver esta pregunta, las propiedades de los logaritmos a utilizar son

• $log(a) - log(b) = log(a/b)$
• $blog(a) = log(a^b)$
• $log_b(a) = x \implies a = b^x$

Nuevamente vamos a utilizar la ecuación general de segundo grado. Sabiendo esto, procedemos con la solución

$2log_5(x+1) -log_5(x-1) = 1\\\\\\log_5(\frac{(x+1)^2}{x-1}) = 1\\\\\\frac{(x+1)^2}{x-1} = 5^1 = 5\\\\\\\\(x+1)^2 = x^2+2x+1 = 5(x-1)=5x-5\\\\\\\\x^2 -3x +6 = 0\\x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4*6} }{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-15}}{2}$

Notamos que no hay solución real para nuestro problema

Tercera pregunta

Por último, este problema es no requiere de mucha complejidad una vez entendido los otros dos

$log_6(2x) -log_6(x+1) = 0\\log_6(2x) = log_6(x+1)\\2x = x+1\\x = 1$