Question

resuelve la siguiente ecuacion radical:

$\sqrt{3x+2} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{2}$

ayuda plis :(

Answer 1

Ecuaciones con raíces

En este ejercicios los pasos son:

$\bold{\sqrt{3x+2}-\sqrt{3x-2}= \sqrt{2}}$

En este caso, se eleva a los dos miembros al cuadrado, para poder sacar las raíces

$\bold{(\sqrt{3x+2}-\sqrt{3x-2})^2= (\sqrt{2})^2}$

En el primer miembro tenemos un binomio al cuadrado que se resuelve usando Trinomio Cuadrado Perfecto

$\bold{(a-b)^2=a^2 -2ab+b^2\qquad siendo: a=(3x+2)\ y\ b=(3x-2)}\\\\ entonces \\\\ \bold{(\sqrt{3x+2}-\sqrt{3x-2})^2= (\sqrt{2})^2}\\\\ \bold{(\sqrt{3x+2})^2-2*(\sqrt{3x+2}*\sqrt{3x-2})+ (\sqrt{3x-2} )^2= (\sqrt{2})^2}\\\\Resolvemos, cancelando\ raices \ con \ potencia$

$\bold{(3x+2)-2*(\sqrt{3x+2}*\sqrt{3x-2})+ (3x-2)= 2}\\\\ Aplicamos \ propiedad \ distributiva \\\\ \bold{(3x+2)-2*\sqrt{(3x+2)*(3x-2)}+ (3x-2)= 2}$

Juntamos (3x+2) con (3x-2), también realizamos el producto  y resolvemos

$\bold{3x+2+3x-2-2*\sqrt{9x^2-6x+6x-4}= 2}\\\\\bold{6x-2*\sqrt{9x^2-4}= 2}$

Ahora despejamos

$\bold{-2*\sqrt{9x^2-4}= 2-6x}\\\\ \bold{\sqrt{9x^2-4}=\frac{2}{-2}-\frac{6x}{-2}}\\\\ \bold{\sqrt{9x^2-4}=-1+3x}\\\\ \bold{9x^2-4=(-1+3x)^2}\qquad aplicamos \ Trinomio \ Cuadrado\ Perfecto\\\\ \bold{9x^2-4=(-1)^2+2*(-1)*(3x) +(3x)^2}\\\\ \bold{9x^2-4=1-6x +9x^2}$

Igualamos a cero

$\bold{9x^2-4-1+6x -9x^2=0}\qquad se \ cancelan\ 9x^2\\\\\bold{-4-1+6x=0}\\\\\bold{-5+6x=0}\\\\\bold{6x=5}\\\\\bold{x=\dfrac{5}{6}}$

Verificar

$\bold{\sqrt{3x+2}-\sqrt{3x-2}= \sqrt{2}\qquad \quad x=\dfrac{5}{6}}\\ \\ \\ \bold{\sqrt{3*\frac{5}{6} +2}-\sqrt{3*\frac{5}{6}-2}= \sqrt{2}}\\ \\ \bold{\sqrt{\frac{5}{2} +2}-\sqrt{\frac{5}{2}-2}= \sqrt{2}}\\ \\ \bold{\sqrt{\frac{5+4}{2}}-\sqrt{\frac{5-4}{2}}= \sqrt{2}}\\ \\ \bold{\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}}\\ \\ 2,12132... - 0,7071... = 1,4142...\\ \\ 1,4142... = 1,4142....$

Espero que te sirva, salu2!!!!