Question

Resuelve la ecuación diferencial senydx+(sen^2 y - xcosy) dy=0 , sujeta a la condición inicial (0) =π/2 , ayuden por favor.

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

$Sen y dx + ( Sen^{2}y -x Cosy )dy = 0; y(0)=\frac{\pi }{2}$

Dividimos entre $Sen^{2} y.$

$\frac{Sen y}{Sen^{2} y} dx + (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y } )dy = \frac{0}{Sen^{2}y }$

$\frac{1}{Sen^{}y } dx + (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y } )dy = 0$

$M dx + N dy = 0$

$M = \frac{1}{Sen y}$         ;            $N =( \frac{Sen^{2}y - xCosy }{Sen^{2}y })$

$\frac{D_{M} }{D_{y} } = \frac{D_{N} }{Dx_{} }$

$\frac{D_{M} }{D_{y} } = -coty cscy$         ;          $\frac{D_{M} }{Dx{_} } } = -coty cscy$

La ecuación es Exacta.

SOLUCIÓN GENERAL:  $F ( x, y ) = C.$

$\frac{D_{F} }{Dx_{} } =M$               ;                $\frac{D_{F} }{D_{y} } = N$

$\frac{D_{F} }{D_{y} } = N --------\frac{D_{F} }{D_{y} } = (\frac{Sen^{2}y -x Cos y }{Sen^{2}y } )$

$\int\limits D_{F} = \int\limits (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y })D_{y}$

$F = y + \frac{x}{Sen y} + g( x )$

$\frac{D_{F} }{Dx_{} } = Cscy + g' (x )$

$\frac{D_{F} }{Dx_{} } = M$

$Cscy + g' (x ) = \frac{1}{Seny}$$, entonces : Cscy + g' ( x ) = Csc y$

$g' ( x ) = 0$

Aplicando integral en ambos miembros:

$\int\limits g' (x )dx = \int\limits0 dx$

$g(x) = C_{1}$

Sustituyendo en: $F = y + \frac{x}{Seny} + g ( x )$

$F = y + \frac{x}{Seny} + C_{1}$

Como $F ( x, y ) = C , entonces.$

$y + \frac{x}{Seny} + C_{1} = C$

$y + \frac{x}{Seny} = C-C_{1}$

$y + \frac{x}{Sen y} = K$ ------ SOLUCIÓN GENERAL.

$y ( 0 ) = \frac{\pi }{2}$

Sustituyendo en:   $y + \frac{x}{Sen y} = k$

$\frac{\pi }{2} + \frac{0}{Sen \frac{\pi }{2} } = K$

$\frac{\pi }{2} + 0 = K$

$K = \frac{\pi }{2}$

Luego,  $y + \frac{x}{Sen y } = \frac{\pi }{2}$

$y + \frac{x}{Seny} = \frac{\pi }{2} -----$ SOLUCIÓN PARTICULAR.