Question

resuelve el teorema del coseno de un triangulo ABC si su lado a vale 80 y lado c vale 110 y su angulo B vale 110​

Answer 1

El lado faltante del triángulo (b) tiene una magnitud de aproximadamente 156.59 unidades.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO  

Datos

$\bold{a = 80 \ u}$

$\bold{c = 110 \ u}$

$\bold{B = 110^o}$

Solución

Calculamos la magnitud del lado faltante b  

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallando la longitud del tercer lado b

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para emplear el teorema sabiendo que son unidades }$

$\boxed {\bold { b^{2} = 80^{2} + 110^{2} - 2 \ . \ 80 \ . \ 110 \ . \ cos(110^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 6400 + 12100 -17600 \ . \ cos(110^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 18500 - 17600\ . \ -0.342020143 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 18500 +6019.55 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 24519.55 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ b^{2} } =\sqrt{24519.55} }}$

$\boxed {\bold { b =\sqrt{24519.55} }}$

$\boxed {\bold { b \approx 156.587 \ unidades }}$

$\large\boxed {\bold { b \approx 156.59 \ unidades }}$

El lado faltante b del triángulo mide 156.59 unidades

Aunque el enunciado no lo pida

Hallamos los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallando el ángulo A

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos }$

$\boxed { \bold { \frac{80 \ u}{ sen( A ) } = \frac{156.59 \ u }{ sen( 110^o ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{80 \not u \ . \ sen( 110^o ) }{156.59 \not u } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 80 \ . \ sen( 110^o ) }{156.59 } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 80 \ . \ 0.9396926207 }{156.59 } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 75.175409662 }{156.59 } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )=0.4800779721 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold {A =arcsen (0.4800779721 ) }}$

$\boxed { \bold { A \approx 28.6904^o }}$

$\large\boxed { \bold { A\approx 28.69^o }}$

Hallando el ángulo C

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o =A+ B + \ C } }$

$\boxed {\bold { 180^o =28.69^o+110^o + \ C } }$

$\boxed {\bold { C = 180^o - 28.69^o- 110^o } }$

$\large\boxed {\bold { C =41.31^o } }$

Se adjunta gráfico para mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteadas