Resuelve el siguiente problema. Para ello realiza
un gráfico
Una función cuadrática tiene su punto mínimo en
el punto (1, -3). Además, se conoce que f(0) = -1,
f(3) = 5. ¿Qué valores toma f(2) y f(-1)?
Respuestas a la pregunta
Primero ubicas el punto (1,-3) en el plano y haces una parábola hacia arriba, puesto que es el punto mínimo.
Luego supones una ecuación cuadrática que cumpla con las condiciones dadas. Esta es:
f(x)=x^2-x-1
Ya que:
f(0)=x^2-x-1
f(0)=0^2-(0)-1
f(0)= -1.
Y:
f(3)=x^2-x-1
f(3)=3^2-(3)-1
f(3)=9-3-1
f(3)=9-4
f(3)=5.
Ahora, se realizan las operaciones respectivas para hallar las respuestas:
Primera:
f(2)=x^2-x-1
f(2)=2^2-(2)-1
f(2)=4-2-1
f(2)=4-3
f(2)=1.
Segunda:
f(-1)=x^2-x-1
f(-1)=(-1)^2-(-1)-1
f(-1)=1+1-1
f(-1)=2-1
f(-1)=1.
Respuestas:
El valor que toma f(2) es 1.
El valor que toma f(-1) es 1.
La función cuadrática que da solución a la ecuación es igual a f(x) = 5x² - 13x - 1
Si tenemos una función cuadrática de la forma ax² + bx + c entonces como tenemos que el punto mínimo es (1,-3) tenemos que el único punto crítico de la parábola es:
2ax + b
Como pasa por (1,-3) tenemos que:
2a(1) + b = - 3
1. 2a + b = - 3
Como f(0) = - 1:
c = - 1
Como f(3) = 5
9a + 3b + c = 5
9a + 3b = 5 - c
9a + 3b = 5 + 1
9a + 3b = 6
2. 3a + b = 2
Restamos la ecuación 2 con la 1:
a = 5
Sustituimos en la ecuación 1:
3*5 + b = 2
15 + b = 2
b = 2 - 15
b = - 13
La ecuación cuadrática es:
f(x) = 5x² - 13x - 1
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