Question

Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización:
A partir de una hoja de máquina tamaño carta - A4 cuyas medidas son aproximadamente 21 cm de ancho y 30 cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x" cm.
Obtener las dimensiones de la caja: ancho, largo y alto, para que la caja encierre un volumen máximo.
Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________
Cuánto va a medir el largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________
Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen de la caja en función de "x"
V(x) = _____________________
Obtener los puntos críticos de la función volumen
Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de "x" con el cual el volumen es máximo
Dar la respuesta al problema:
Dimensiones de la caja con volumen máximo:
Ancho: ___________
Largo: ____________
Alto: _____________

Answer 1

Veamos.

Si se cortan cuadrados de lado x en los 4 vértices de la hoja nos queda

ancho = 21 - 2 x
largo = 30 - 2 x

Siendo un prisma V = x (21 - 2 x) (30 - 2 x)

Si quitamos los paréntesis: V(x) = 4 x³ - 102 x² + 630 x

Derivamos respecto de x: V' =12 x² - 204 x + 630

Si igualamos a cero, resultan x = 12,94; x = 4,06 cm

12,94 debe desechar por estar fuera de dominio: 21 - 2 x no debe ser negativo

Queda entonces un solo punto crítico: x = 4,06 cm

Hay otros dos puntos críticos que corresponden para el volumen nulo pero no participan en el problema:

x = 0, x = 10,5 (21/2)

Criterio de la primera derivada para un máximo:

La derivada en un punto inmediatamente a la izquierda del punto crítico debe ser positiva y a la derecha negativa.

V'(4,05) = 0,63

V'(4,07) = - 1,5

Por lo tanto en x = 4,06 hay un máximo.

El volumen máximo es V(4,06) = 1144.1 cm³

ancho: 21 - 2 . 4,06 = 12,88 cm
largo: 30 - 2 . 4,06 = 21,88
alto: 4,06 cm

Adjunto una gráfica con la función volumen y los puntos críticos

Saludos Herminio