Question

Resuelve el área mostrada en la figura por a) suma de Riemann b) integral definida

Answer 1

a) Utilizando el definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [-2, 1] para una partición de  n = 7 es:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = -3/2 u²  

b) Al aplicar integral:

A = -15/4 u²  

Explicación:

Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.  

Sea, f(x) = x³ en el intervalos [-2, 1] con n = 7;  

La n-ésima Suma de Riemann:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx  

Calculo de Δx;  

[-2, 1] siendo: a = -2, b = 1;  

Δx = (b-a)/n  

Δx = (1+2)/n  

Δx = 3/n  

calculo de x_i;  

x_i = a + iΔx  

Sustituir;  

x_i = -2 + 3i/n  

∑ f(x_i)Δx Sustituir;  

∑ f(-2+3i/n)3/n  

= ∑ (-6/n +9i/n² )

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ k = kn

= -6n/n  

= -6

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ ki = k ∑i  

= 9/n² ∑(i)  

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ i = n(n+1)/2  

= 9/n².n(n+1)/2  

= 9/2n(n+1)  

= 9/2+ 9/2n  

= -6 + 9/2 + 9/2n  

= -3/2 +9/2n

Aplicar limite;  

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{2}+\frac{9}{2n})$  

Sustituir;  

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{2}+\frac{9}{2\infty})$  

= -3/2 u²  

Aplicar integral:

$\int\limits^1_{-2} {x^{3} } \, dx$

$= \frac{x^{4} }{4} /^{1}_{-2}$

= 1/4 -4

= -15/4  u²