Question

Resuelve /3x+4/ menor igual 5x+1

Answer 1

$|3x-4|\leq 5x+1\\ \\ \text{Evaluemos en intervalos, para ello hallemos los puntos cr\'iticos: }\\ \\ 3x-4=0\to x=\dfrac{4}{3}~~~(\leftarrow \textit{este es el punto cr\'itico)}\\ \\ \\ \text{Ahora veamos qu\'e sucede a la izquierda y derecha del punto cr\'itico}:\\ \\ \\ \textbf{Caso 1}: x\in \left(-\infty,\dfrac{4}{3}\right)\to |3x-4|=4-3x\\ \\ 4-3x\leq 5x+1\\ \\ 3\leq 8x\\ \\ 8x\geq 3\\ \\ x\geq \dfrac{3}{8}$


$\text{Entonces el primer conjunto soluci\'on es } C_1=\left[\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{3}\right)$



$\textbf{Caso 2: } x\in\left[\dfrac{4}{3},+\infty\right)\to |3x-4|=3x-4\\ \\ 3x-4\leq 5x+1\\ \\ -5\leq 2x\\ \\ 2x\geq -5\\ \\ x\geq-\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ \text{Entonces el segundo conjunto soluci\'on es }C_2=\left[\dfrac{4}{3},+\infty\right)\\ \\ \\ \text{As\'i el conjunto soluci\'on es }C=C_1\cup C_2\\ \\ C=\left[\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{3}\right)\cup\left[\dfrac{4}{3},+\infty\right)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{C=\left[\dfrac{3}{8},+\infty\right)}}$