Question

Resuelvan porfa con explicación (54 puntos) no pongan cualquier tontería

Answer 1

Respuesta:

n=20

Explicación paso a paso:

En el producto potencias, si las bases son iguales, los exponentes se suman

$4 \times {4}^{2} \times {4}^{3} \times {4}^{4} \times ... \times {4}^{n} = 8 \times 8 \times \times 8...(140 \: veces$

${4}^{1 + 2 + 3 + 4 + ... + n} = {8}^{140}$

Recordar la suma de los primeros "n" números naturales:

$1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Entonces:

${4}^{1 + 2 + 3 + 4 + ... + n} = {8}^{140}$

${4}^{ \frac{n(n + 1)}{2} } = {8}^{140}$

Recordar que 4 = 2² ; y que 8 = 2³

${( {2}^{2}) }^{ \frac{n(n + 1)}{2} } = {( {2}^{3} )}^{140}$

${2}^{ \frac{2n(n + 1)}{2} } = {2}^{420}$

${2}^{n(n + 1) } = {2}^{420}$

Cómo las bases son iguales, los exponentes también deben ser iguales.

$n(n + 1) = 420$

${n}^{2} + n = 420$

${n}^{2} + n - 420 = 0$

Factorizar:(ver imágen)

$(n - 20)(n + 21) = 0$

Igualar cada factor a cero:

Primer factor:

$(n - 20) = 0$

$n= 20$

Segundo factor:

$(n + 21) = 0$

$n = - 21$

El -21 se descarta, porque es negativo, y "n" necesariamente debe ser entero positivo como para que puede completar la secuencia inicial 1+2+3+4+...+n

" Entonces la única respuesta es 20"