Question

Resuelva por separación de variables (x^3- y^3 )dx+3xy^2 dy=0

Answer 1

(1) Tratemos de hacer un cambio de variable para ver mejor la cosa

                            $x=zy\to dx=z~dy+y~dz$

(2) Ahora reemplacemos

           $y^3(z^3-1)(z~dy+y~dz)+3zy^3~dy=0\\ \\ (z^3-1)(z~dy+y~dz)+3z~dy=0\\ \\ (z^3-1)z~dy+(z^3-1)y~dz+3z~dy=0\\ \\ (z^3+2)zdy+(z^3-1)y~dz=0\\ \\ \dfrac{dy}{y}+\dfrac{z^3-1}{z(z^3+2)}~dz=0$

(3) resolvamos

$\displaystyle \int\dfrac{dy}{y}+\int\dfrac{z^3-1}{z(z^3+2)}~dz=C\\ \\ \\ \ln|y|+\int\dfrac{3z^2}{2(z^3+2)}-\dfrac{1}{2z}~dz=C\\ \\ \\ \ln|y|+\dfrac{3}{2}\int\dfrac{z^2}{z^3+2}dz-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{z}~dz=C\\ \\ \\ \ln|y|+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(z^3+2)}{z^3+2}dz-\dfrac{1}{2}\ln|z|=C\\ \\ \\ \ln|y|+\dfrac{1}{2}\ln|z^3+2|-\dfrac{1}{2}\ln|z|=C\\ \\ \\ \ln|y|+\ln\left|\dfrac{\sqrt{z^3+2}}{\sqrt{z}}\right|=C\\ \\ \\ \ln\left|\dfrac{y\sqrt{z^3+2}}{\sqrt{z}}\right|=C$


$\dfrac{y\sqrt{z^3+2}}{\sqrt{z}}=e^C=K\\ \\ \\ \texttt{Resustituyendo variable: }z=\dfrac{x}{y}\\ \\ \\ \dfrac{x^3+2y^3}{x}=C_1$


                                      $\boxed{y=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\cdot \sqrt[3]{C_1x-x^3}}$