Question

Resuelva paso por paso las siguientes integrales, aplicando la definición de integral y enunciando, propiedades, identidades y el método de integración utilizado.

Answer 1

DATOS :
  Resuelva paso a paso la siguiente integral :
    ∫(x³ - 4x² + 5x -1 )/(x² -2x + 1) dx = 

     Paso 1 :
    Como el numerador es de mayor grado que el denominador se 
    realiza la división de polinomios .

   Dividendo d                                    
        x³  - 4x² + 5x - 1     Ι  x² - 2x + 1    divisor d
       -x³  +2x² -   x           Ι______________
      ______________       x - 2
              -2x²  + 4x - 1         cociente C
               2x²   - 4x + 2 
           ______________
                                  1   residuo R 
       D = d * C + R 
       D/d = C + R/d 
       ( x³ - 4x² +5x -1 )/( x² -2x + 1) = x -2 + 1/(x² -2x +1) 
                                                       = x - 2 + 1/ (x -1)²

      Paso 2 : se sustituye la división D/ d por C + R/ d, para  resolver 
      la integral quedando en tres integrales dos inmediatas y la otra
      se resuelve por el método de sustitución  :

       ∫(x³ -4x² + 5x - 1)/( x² - 2x + 1) dx = ∫x dx - 2∫dx + ∫ 1/( x- 1)² dx
          = x²/2  - 2x  + ∫ dx/(x - 1)²

     Paso 3 : se resuelve la   ∫ dx /(x- 1)²
         ω = x -1 
         dω = dx 
           ∫dω/ ω² = ∫ω⁻² dω = ∫ω⁻¹ /-1 dw = - ∫ dω/ω = - Ln(ω)= - Ln( x - 1) 

      Paso 4 : respuesta de la integral indefinida propuesta :

    ∫(x³ - 4x² + 5x - 1)/ ( x² - 2x + 1 ) dx   = x² - 2x  - Ln(x - 1)  + C