Question

Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración, no se admite el uso de métodos de integración pues son estrategias que se usarán en la siguiente unidad.

5. ∫〖 (x^5+12x^2-5x)/(x^2-2x+5) dx〗

Answer 1

Para resolver, simplemente aplicaremos una división de polinomios (todo el procedimiento se muestra en la imagen adjunta). Entonces:

(x⁵ + 12x² - 5x) ÷ (x² - 2x + 5) = x³ + 2x² - x

En base a ello, tendremos la siguiente integral equivalente:

$\int\ {\frac{x^{5} +12x^{2} -5x}{x^{2}-2x+5 } \, dx =\int\ {x^{3}+2x^{2}-x} \, dx$

Quedando así una expresión muchísimo más fácil de integrar, usando simples propiedades de integración:

$\int\ ({x^{3}+2x^{2}-x}) \, dx =\frac{x^{4}}{4} +\frac{2x^{3} }{3} -\frac{x^{2} }{2} +C$

⛔Se aplico la propiedad:

$\int\ {x^{n} } \, dx =\frac{x^{n+1} }{n+1}+C$

Con n ≠ -1

Aumentando el exponente +1, y se coloca como denominador