Question

Resuelva paso a paso la siguiente integral y aplique las propiedades básicas de la integración, no se admite el uso de métodos de integración.

La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se evalúan una vez se haya obtenido la primitiva de la función integrada, teniendo en cuenta el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\Bigg[\Bigg(\frac{Cos(x-\frac{\pi}{2})}{Cos\,x}\Bigg)^2+1\Bigg] \, dx\\\\\\=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\Bigg[\Bigg(\frac{Cos(\frac{\pi}{2}-x)}{Cos\,x}\Bigg)^2+1\Bigg] \, dx\\\\\\=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\Bigg[\Big(\frac{Sen\,x}{Cos\,x}\Big)^2+1\Bigg] \, dx$

$=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\Big[\big(Tan\,x\big)^2+1\Big] \, dx\\\\=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}Sec^2x \, dx\\\\=Tan\,x\Bigg|^{{\frac{\pi}{4}}}_{{-\frac{\pi}{4}}}=Tan\,(\frac{\pi}{4})-Tan\,(-\frac{\pi}{4})\\\\=1-(-1)\\=2$