Question

Resuelva el ejercicio, encuentre la ecuación de solución y(x) para la ecuación diferencial mostrada:

$\frac{dy}{dx} - 2xy = x$

Condición inicial: y(0) = 0

Espero puedan ayudarme, se los agradecería.

Answer 1

Respuesta:

y= 26 x= kidu

Explicación:

porque ‍‍

Answer 2

Respuesta:

$y=\frac{1}{2}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}$

Explicación:

Dada la ecuación diferencial de primer orden

$\frac{dy}{dx}-2xy=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,y(0)=0$

podemos expresarla como

$\frac{dy}{dx}=2xy+x$

$\frac{dy}{dx}=x(1+2y)$

esta es una ecuación de variables separables, por lo que podemos expresarla de la siguiente forma

$\frac{dy}{1+2y}=xdx$

integramos ambos lados de la ecuación

$\int\, \frac{dy}{1+2y} =\int \, x\, dx$

Para la integral de la izquierda sea $v=1+2y,\,\,\,\, dv=2dy, \,\,\,\,\frac{dv}{2} =dy$

$\int \, \frac{dy}{1+2y}=\int \, \frac{dv/2}{v}=\frac{1}{2}\int\, \frac{dv}{v}=\frac{1}{2}ln|v|=\frac{1}{2}ln|1+2y|$

para la integral de la derecha

$\int \, x \, dx=\frac{x^{2} }{2}$

por o tanto

$\frac{1}{2}ln|1+2y|=\frac{x^{2}}{2}+C$

$ln|1+2y|=x^{2}+C_1$                donde $C_1 =2C$

$e^{ln|1+2y|}=e^{x^{2}+C_1}=e^{C_1}e^{x^{2}}=C_2e^{x^{2}}$

Dado que $C_2$ es una constante positiva (recuerda que $C_2=e^{C_1} > 0$) podemos reemplazar $C_2$ por $K$, donde $K$ ahora representa una constante arbitraria diferente de cero, por lo que obtenemos

$1+2y=Ke^{x^{2}}$

despejamos la variable $y$ de la ecuación anterior

$2y=Ke^{x^{2}}-1$

$y=\frac{K}{2}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}$

Finalmente, determinamos el valor de $K$ tal que se satisfaga la condición $y(0)=0$, por lo tanto

$0=\frac{K}{2}e^{0}-\frac{1}{2}\\\\0=\frac{K}{2}-\frac{1}{2}\\\\\frac{K}{2}=\frac{1}{2}\\\\ K=1$

Así, la solución al problema con valor inicial es

$y=\frac{1}{2} e^{x^{2}}-\frac{1}{2}$